Страница 96 номер 244, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Алимова с ответами и решением
Найти формулу \(n\)-го члена арифметической прогрессии, если: 1) \(a_3 = 13\), \(a_6 = 22\); 2) \(a_2 = -7\), \(a_7 = 18\).
1) \(a_{3} = 13\), \(a_{6} = 22\)
Используя формулу \(n\)-го члена арифметической прогрессии, находим:
\(a_{3} = a_{1} + (3 - 1) \cdot d = a_{1} + 2d\)
\(a_{6} = a_{1} + (6 - 1) \cdot d = a_{1} + 5d\)
Подставив в эти выражения значения \(a_{3}\) и \(a_{6}\), получим систему уравнений относительно \(a_{1}\) и \(d\):
\(\begin{cases}13 = a_{1} + 2d \\ 22 = a_{1} + 5d\end{cases}\)
Вычтем из второго уравнения системы первое:
\(9 = 3d\)
\(d = 9/3\)
\(d = 3\)
Подставив полученное значение \(d\) в первое уравнение системы, найдем \(a_{1}\):
\(13 = a_{1} + 2 \cdot 3\)
\(a_{1} = 13 - 6 = 7\)
Найдем формулу \(n\)-го члена прогрессии:
\(a_{n} = 7 + (n - 1) \cdot 3 = 7 + 3n - 3 = 3n + 4\)
Ответ: \(a_{n} = 3n + 4\)
2) \(a_{2} = -7\), \(a_{7} = 18\)
Используя формулу \(n\)-го члена арифметической прогрессии, находим:
\(a_{2} = a_{1} + d\)
\(a_{7} = a_{1} + 6d\)
Подставив в эти выражения значения \(a_{2}\) и \(a_{7}\), получим систему уравнений относительно \(a_{1}\) и \(d\):
\(\begin{cases} - 7 = a_{1} + d \\ 18 = a_{1} + 6d\end{cases}\)
Вычтем из второго уравнения системы первое:
\(25 = 5d\)
\(d = 25/5\)
\(d = 5\)
Подставив полученное значение \(d\) в первое уравнение системы, найдем \(a_{1}\):
\(-7 = a_{1} + 5\)
\(a_{1} = -7 - 5 = -12\)
Найдем формулу \(n\)-го члена прогрессии:
\(a_{n} = -12 + (n - 1) \cdot 5 = -12 + 5n - 5 = 5n - 17\)
Ответ: \(a_{n} = 5n - 17\)
