Страница 49 номер 115, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Алимова с ответами и решением

1)

\(\dfrac{\sqrt{3} \cdot \sqrt[3]{9}}{\sqrt[6]{3}}\)

Представим число 9 в виде квадратного корня:

\(9 = \sqrt{81}\), тогда:
\(\sqrt[3]{9} = \sqrt[3]{\sqrt{81}}\) или, по свойству арифметического корня:
\(\sqrt[3]{\sqrt{81}} = \sqrt[3 \cdot 2]{81} = \sqrt[6]{81}\)

Подставим полученное значение в нашу дробь вместо \(\sqrt[3]{9}\) и получим:

\(\dfrac{\sqrt{3}\sqrt[6]{81}}{\sqrt[6]{3}}\)

Занесем числа, находящиеся под корнем шестой степени, под общий корень:

\(\sqrt{3} \cdot \sqrt[6]{\frac{81}{3}} = \sqrt{3} \cdot \sqrt[6]{27}\), где \(27 = 3^{3}\), а \(\sqrt[6]{27} = \sqrt[3 \cdot 2]{3^{3}} = \sqrt{\sqrt[3]{3^{3}}} = \sqrt{3}\)

Таким образом, наше числовое выражение приняло следующий вид:

\(\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{3^{2}} = 3\)

Ответ: 3

2)

\(\dfrac{\sqrt[3]{7} \cdot \sqrt[4]{343}}{\sqrt[12]{7}}\)

Представим число 343 в виде степени числа 7:

\(343 = 7 \cdot 7 \cdot 7 = 7^{3}\)

Тогда наше выражение примет следующий вид:

\(\dfrac{\sqrt[3]{7} \cdot \sqrt[4]{7^{3}}}{\sqrt[12]{7}} = \sqrt[3]{7} \cdot \dfrac{\sqrt[4]{7^{3}}}{\sqrt[12]{7}}\)
\(\sqrt[12]{7} = \sqrt[4 \cdot 3]{7} = \sqrt[4]{\sqrt[3]{7}}\), а значит \(\frac{\sqrt[4]{7^{3}}}{\sqrt[4]{\sqrt[3]{7}}} = \sqrt[4]{\frac{7^{3}}{\sqrt[3]{7}}}\)

Представим \(7^{3}\) в виде кубического корня:

\(\sqrt[3]{\left(7^{3}\right)^{3}} = \sqrt[3]{7^{9}}\), тогда
\(\sqrt[4]{\dfrac{7^{3}}{\sqrt[3]{7}}} = \sqrt[4]{\dfrac{\sqrt[3]{7^{9}}}{\sqrt[3]{7}}} = \sqrt[4]{\sqrt[3]{\dfrac{7^{9}}{7}}} = \sqrt[4]{\sqrt[3]{7^{8}}} = \sqrt[3]{\sqrt[4]{7^{8}}} = \sqrt[3]{\sqrt[4]{\left(7^{2}\right)^{4}}} = \sqrt[3]{7^{2}}\)

Тогда наше выражение примет следующий вид:

\(\sqrt[3]{7} \cdot \dfrac{\sqrt[4]{7^{3}}}{\sqrt[12]{7}} = \sqrt[3]{7} \cdot \sqrt[3]{7^{2}}\)

Занесем все под общий корень и получим:

\(\sqrt[3]{7 \cdot 7^{2}} = \sqrt[3]{7^{3}} = 7\)

Ответ: 7

3)

\(\left(\sqrt[3]{4} - \sqrt[3]{10} + \sqrt[3]{25}\right)\left(\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{5}\right)\)

Раскроем скобки:

\(\sqrt[3]{4}\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{4}\sqrt[3]{5} - \sqrt[3]{10}\sqrt[3]{2} - \sqrt[3]{10}\sqrt[3]{5} + \sqrt[3]{25}\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{25}\sqrt[3]{5}\)

Применив свойство арифметического корня, занесем каждый множитель под общий корень:

\(\sqrt[3]{4 \cdot 2} + \sqrt[3]{4 \cdot 5} - \sqrt[3]{10 \cdot 2} - \sqrt[3]{10 \cdot 5} + \sqrt[3]{25 \cdot 2} + \sqrt[3]{25 \cdot 5} =\)
\(= \sqrt[3]{2^{3}} + \sqrt[3]{20} - \sqrt[3]{20} - \sqrt[3]{50} + \sqrt[3]{50} + \sqrt[3]{5^{3}} =\)
\(= 2 + \sqrt[3]{20} - \sqrt[3]{20} - \sqrt[3]{50} + \sqrt[3]{50} + 5 = 2 + 5 = 7\)

4)

\(\left(\sqrt[3]{9} + \sqrt[3]{6} + \sqrt[3]{4}\right)\left(\sqrt[3]{3} - \sqrt[3]{2}\right)\)

Раскроем скобки:

\(\sqrt[3]{9}\sqrt[3]{3} - \sqrt[3]{9}\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{6}\sqrt[3]{3} - \sqrt[3]{6}\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{4}\sqrt[3]{3} - \sqrt[3]{4}\sqrt[3]{2}\)

Применив свойство арифметического корня, занесем каждый множитель под общий корень:

\(\sqrt[3]{9 \cdot 3} - \sqrt[3]{9 \cdot 2} + \sqrt[3]{6 \cdot 3} - \sqrt[3]{6 \cdot 2} + \sqrt[3]{4 \cdot 3} - \sqrt[3]{4 \cdot 2} =\)
\(= \sqrt[3]{3^{3}} - \sqrt[3]{18} + \sqrt[3]{18} - \sqrt[3]{12} + \sqrt[3]{12} - \sqrt[3]{2^{3}} =\)
\(= 3 - 2 = 1\)