Страница 55 номер 128, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Алимова с ответами и решением

При выполнении данного задания будем использовать свойства степени с рациональным показателем

1)

\(\dfrac{a^{\frac{4}{3}}\left(a^{-\frac{1}{3}} + a^{\frac{2}{3}}\right)}{a^{\frac{1}{4}}\left(a^{\frac{3}{4}} + a^{-\frac{1}{4}}\right)}\)

Раскроем скобки в числителе и знаменателе дроби

\(\dfrac{a^{\frac{4}{3}}\left(a^{-\frac{1}{3}} + a^{\frac{2}{3}}\right)}{a^{\frac{1}{4}}\left(a^{\frac{3}{4}} + a^{-\frac{1}{4}}\right)} = \dfrac{a^{\frac{4}{3}}\left.a^{-\frac{1}{3}} + a^{\frac{4}{3}}a^{\frac{2}{3}}\right.}{a^{\frac{1}{4}}\left.a^{\frac{3}{4}} + a^{\frac{1}{4}}a^{-\frac{1}{4}}\right.} =\)
\(= \dfrac{a^{\frac{4}{3} + (-\frac{1}{3})} + a^{\frac{4}{3} + \frac{2}{3}}}{a^{\frac{1}{4} + \frac{3}{4}} + a^{\frac{1}{4} - \frac{1}{4}}} = \dfrac{a^{\frac{3}{3}} + a^{\frac{6}{3}}}{a^{\frac{4}{4}} + a^{0}} = \dfrac{a + a^{2}}{a + 1}\)

Вынесем в числителе за скобку общий множитель а:

\(\dfrac{a + a^{2}}{a + 1} = \dfrac{a(1 + a)}{1 + a} = a\)

Ответ: \(a\)

2)

\(\dfrac{b^{\frac{1}{5}}\left(\sqrt[5]{b^{4}} - \sqrt[5]{b^{-1}}\right)}{b^{\frac{2}{3}}\left(\sqrt[3]{b} - \sqrt[3]{b^{-2}}\right)}\)

Запишем корни в виде степени с рациональным показателем:

\(\dfrac{b^{\frac{1}{5}}\left(\sqrt[5]{b^{4}} - \sqrt[5]{b^{-1}}\right)}{b^{\frac{2}{3}}\left(\sqrt[3]{b} - \sqrt[3]{b^{-2}}\right)} = \dfrac{b^{\frac{1}{5}}\left(b^{\frac{4}{5}} - b^{-\frac{1}{5}}\right)}{b^{\frac{2}{3}}\left(b^{\frac{1}{3}} - b^{-\frac{2}{3}}\right)}\)

Раскроем скобки в числителе и знаменателе дроби:

\(\dfrac{b^{\frac{1}{5}}\left(b^{\frac{4}{5}} - b^{-\frac{1}{5}}\right)}{b^{\frac{2}{3}}\left(b^{\frac{1}{3}} - b^{-\frac{2}{3}}\right)} = \dfrac{b^{\frac{1}{5}}b^{\frac{4}{5}} - b^{\frac{1}{5}}b^{-\frac{1}{5}}}{b^{\frac{2}{3}}b^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{2}{3}}b^{-\frac{2}{3}}} =\)
\(= \dfrac{b^{\frac{1}{5} + \frac{4}{5}} - b^{\frac{1}{5} - \frac{1}{5}}}{b^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}} - b^{\frac{2}{3} - \frac{2}{3}}} = \dfrac{b^{\frac{5}{5}} - b^{0}}{b^{\frac{3}{3}} - b^{0}} = \dfrac{b - 1}{b - 1} = 1\)

Ответ: 1

3)

\(\dfrac{a^{\frac{5}{3}}b^{-1} - ab^{-\frac{1}{3}}}{\sqrt[3]{a^{2}} - \sqrt[3]{b^{2}}}\)

Представим корни в виде степени с рациональным показателем и вынесем общий множитель в числителе дроби за скобки:

\(\dfrac{a^{\frac{5}{3}}b^{-1} - ab^{-\frac{1}{3}}}{\sqrt[3]{a^{2}} - \sqrt[3]{b^{2}}} = \dfrac{a^{\frac{5}{3}}b^{-1} - a^{\frac{3}{3}}b^{-\frac{1}{3}}}{a^{\frac{2}{3}} - b^{\frac{2}{3}}} = \dfrac{ab^{-1} \cdot \left(a^{\frac{2}{3}} - b^{\frac{2}{3}}\right)^{1}}{\left(a^{\frac{2}{3}} - b^{\frac{2}{3}}\right)} = ab^{-1} = \dfrac{a}{b}\)

Ответ: \(\frac{a}{b}\)

4)

\(\dfrac{a^{\frac{1}{3}}\sqrt{b} + b^{\frac{1}{3}}\sqrt{a}}{\sqrt[6]{a} + \sqrt[6]{b}}\)

Представим корни в виде степени с рациональным показателем и вынесем общий множитель в числителе дроби за скобки:

\(\dfrac{a^{\frac{1}{3}}\sqrt{b} + b^{\frac{1}{3}}\sqrt{a}}{\sqrt[6]{a} + \sqrt[6]{b}} = \dfrac{a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{3}}a^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{6}} + b^{\frac{1}{6}}} =\)
\(= \dfrac{a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}}\left(b^{\frac{1}{2} - \frac{1}{3}} + a^{\frac{1}{2} - \frac{1}{3}}\right)}{a^{\frac{1}{6}} + b^{\frac{1}{6}}} = \dfrac{a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}}\left(b^{\frac{3}{6} - \frac{2}{6}} + a^{\frac{3}{6} - \frac{2}{6}}\right)}{a^{\frac{1}{6}} + b^{\frac{1}{6}}} =\)
\(= \dfrac{a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}}\left(b^{\frac{1}{6}} + a^{\frac{1}{6}}\right)}{a^{\frac{1}{6}} + b^{\frac{1}{6}}} = a^{\frac{1}{3}} \cdot b^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{ab}\)

Ответ: \(\sqrt[3]{ab}\)