Страница 49 номер 117, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Алимова с ответами и решением

1)

\(\dfrac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{\sqrt[4]{a} - \sqrt[4]{b}} - \dfrac{\sqrt{a} + \sqrt[4]{ab}}{\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b}}\)

Приведем нашу дробь к общему знаменателю, а затем упростим выражение в числителе, раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые. Кроме того, в процессе решения нам будет необходимо применять свойства арифметического корня.

\(\dfrac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{\sqrt[4]{a} - \sqrt[4]{b}} - \dfrac{\sqrt{a} + \sqrt[4]{ab}}{\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b}} =\)
\(= \dfrac{\left(\sqrt{a} - \sqrt{b})(\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b}) - (\sqrt{a} + \sqrt[4]{ab}\right)\left(\sqrt[4]{a} - \sqrt[4]{b}\right)}{\left(\sqrt[4]{a} - \sqrt[4]{b}\right)\left(\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b}\right)} =\)
\(= \dfrac{\begin{gathered}\sqrt{a}\sqrt[4]{a} + \sqrt{a}\sqrt[4]{b} - \sqrt{b}\sqrt[4]{a} - {} \\ {} - \left(\sqrt{a}\sqrt[4]{a} - \sqrt{a}\sqrt[4]{b} + \sqrt[4]{ab}\sqrt[4]{a} - \sqrt[4]{ab}\sqrt[4]{b}\right) - \sqrt{b}\sqrt[4]{b}\end{gathered}}{\left(\sqrt[4]{a}\right)^{2} - \left(\sqrt[4]{b}\right)^{2}} =\)
\(= \dfrac{\begin{gathered}\sqrt{a}\sqrt[4]{a} + \sqrt{a}\sqrt[4]{b} - \sqrt{b}\sqrt[4]{a} - \sqrt{b}\sqrt[4]{b} - {} \\ {} - \sqrt{a}\sqrt[4]{a} + \sqrt{a}\sqrt[4]{b} - \sqrt[4]{ab}\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{ab}\sqrt[4]{b}\end{gathered}}{\sqrt[4]{a^{2}} - \sqrt[4]{b^{2}}} =\)
\(= \dfrac{2\sqrt{a}\sqrt[4]{b} - \sqrt{b}\sqrt[4]{a} - \sqrt{b}\sqrt[4]{b} - \sqrt[4]{a^{2}b} + \sqrt[4]{ab^{2}}}{\sqrt[4]{a^{2}} - \sqrt[4]{b^{2}}} =\)
\(= \dfrac{2\sqrt{a}\sqrt[4]{b} - \sqrt{b}\sqrt[4]{a} - \sqrt{b}\sqrt[4]{b} - \sqrt[4]{a^{2}}\sqrt[4]{b} + \sqrt[4]{a}\sqrt[4]{b^{2}}}{\sqrt[4]{a^{2}} - \sqrt[4]{b^{2}}} =\)
\(= \dfrac{2\sqrt{a}\sqrt[4]{b} - \sqrt{b}\sqrt[4]{a} - \sqrt{b}\sqrt[4]{b} - \sqrt[2 \cdot 2]{a^{2}}\sqrt[4]{b} + \sqrt[4]{a}\sqrt[2 \cdot 2]{b^{2}}}{\sqrt[4]{a^{2}} - \sqrt[4]{b^{2}}} =\)
\(= \dfrac{2\sqrt{a}\sqrt[4]{b} - \sqrt{b}\sqrt[4]{a} - \sqrt{b}\sqrt[4]{b} - \sqrt{\sqrt{a^{2}}}\sqrt[4]{b} + \sqrt[4]{a}\sqrt{\sqrt{b^{2}}}}{\sqrt[4]{a^{2}} - \sqrt[4]{b^{2}}} =\)
\(= \dfrac{2\sqrt{a}\sqrt[4]{b} - \sqrt{b}\sqrt[4]{a} - \sqrt{b}\sqrt[4]{b} - \sqrt{a}\sqrt[4]{b} + \sqrt[4]{a}\sqrt{b}}{\sqrt{a} - \sqrt{b}} =\)
\(= \dfrac{\sqrt{a}\sqrt[4]{b} - \sqrt{b}\sqrt[4]{b}}{\sqrt{a} - \sqrt{b}} = \dfrac{\sqrt[4]{b}(\sqrt{a} - \sqrt{b})}{\sqrt{a} - \sqrt{b}} = \sqrt[4]{b}\)
\(\sqrt[4]{a^{2}} - \sqrt[4]{b^{2}} = \sqrt{\sqrt{a^{2}}} - \sqrt{\sqrt{b^{2}}} = \sqrt{a} - \sqrt{b}\) – по свойству арифметического корня

Ответ: \(\sqrt[4]{b}\)

2)

\(\dfrac{a - b}{\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b}} - \dfrac{a + b}{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}}\)

Приведем нашу дробь к общему знаменателю и упростим выражение, получившееся в числителе дроби, раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые.

Для упрощения числителя получившейся дроби будет также использоваться свойство арифметического корня

\(\dfrac{a - b}{\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b}} - \dfrac{a + b}{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}} = \dfrac{\left(a - b\right)\left(\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}\right) - \left(a + b\right)\left(\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b}\right)}{\left(\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b}\right)\left(\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}\right)} =\)
\(= \dfrac{a\sqrt[3]{a} + a\sqrt[3]{b} - b\sqrt[3]{a} - b\sqrt[3]{b} - (a\sqrt[3]{a} - a\sqrt[3]{b} + b\sqrt[3]{a} - b\sqrt[3]{b})}{\left(\sqrt[3]{a}\right)^{2} - \left(\sqrt[3]{b}\right)^{2}} =\)
\(= \dfrac{a\sqrt[3]{a} + a\sqrt[3]{b} - b\sqrt[3]{a} - b\sqrt[3]{b} - a\sqrt[3]{a} + a\sqrt[3]{b} - b\sqrt[3]{a} + b\sqrt[3]{b}}{\left.\sqrt[3]{a^{2}}\right. - \left.\sqrt[3]{b^{2}}\right.} =\)
\(= \dfrac{2a\sqrt[3]{b} - 2b\sqrt[3]{a}}{\left.\sqrt[3]{a^{2}}\right. - \left.\sqrt[3]{b^{2}}\right.} =\)
\(= \dfrac{2\sqrt[3]{a^{3}}\sqrt[3]{b} - 2\sqrt[3]{b^{3}}\sqrt[3]{a}}{\left.\sqrt[3]{a^{2}}\right. - \left.\sqrt[3]{b^{2}}\right.} = \dfrac{2\sqrt[3]{a^{2}ab} - 2\sqrt[3]{b^{2}ba}}{\left.\sqrt[3]{a^{2}}\right. - \left.\sqrt[3]{b^{2}}\right.} =\)
\(= \dfrac{2\sqrt[3]{a^{2}}\sqrt[3]{ab} - 2\sqrt[3]{b^{2}}\sqrt[3]{ab}}{\left.\sqrt[3]{a^{2}}\right. - \left.\sqrt[3]{b^{2}}\right.} =\)
\(= \dfrac{2\sqrt[3]{ab}(\sqrt[3]{a^{2}} - \sqrt[3]{b^{2}})}{\left.\sqrt[3]{a^{2}}\right. - \left.\sqrt[3]{b^{2}}\right.} = 2\sqrt[3]{ab}\)

В данном случае мы свернули знаменатель общей исходной дроби по формуле разности квадратов: \(a^{2} - b^{2} = (a - b)(a + b)\)

Ответ: \(2\sqrt[3]{ab}\)

3)

\(\left(\dfrac{1}{\sqrt[4]{a} - \sqrt[4]{b}} - \dfrac{1}{\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b}}\right) \cdot (\sqrt{a} - \sqrt{b})\)

Приведем дробь, находящуюся в скобках к общему знаменателю:

\(\left(\dfrac{1}{\sqrt[4]{a} - \sqrt[4]{b}} - \dfrac{1}{\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b}}\right) = \dfrac{\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b} - (\sqrt[4]{a} - \sqrt[4]{b})}{(\sqrt[4]{a} - \sqrt[4]{b})(\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b})} =\)
\(= \dfrac{\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b} - \sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b}}{\left(\sqrt[4]{a}\right)^{2} - \left(\sqrt[4]{b}\right)^{2}} = \dfrac{2\sqrt[4]{b}}{\left(\sqrt[4]{a}\right)^{2} - \left(\sqrt[4]{b}\right)^{2}}\)

В данном случае знаменатель общей дроби мы свернули по формуле разности квадратов: \(a^{2} - b^{2} = (a - b)(a + b)\)

Применим свойство арифметического корня к знаменателю получившейся у нас дроби:

\(\sqrt[4]{a^{2}} - \sqrt[4]{b^{2}} = \sqrt[2 \cdot 2]{a^{2}} - \sqrt[2 \cdot 2]{b^{2}} = \sqrt{\sqrt{a^{2}}} - \sqrt{\sqrt{b^{2}}} = \sqrt{a} - \sqrt{b}\)

Таким образом, полученная ранее дробь примет вид:

\(\dfrac{2\sqrt[4]{b}}{\left(\sqrt[4]{a}\right)^{2} - \left(\sqrt[4]{b}\right)^{2}} = \dfrac{2\sqrt[4]{b}}{\sqrt{a} - \sqrt{b}}\)

Подставим полученную дробь в исходное выражение:

\(\dfrac{2\sqrt[4]{b}(\sqrt{a} - \sqrt{b})}{\sqrt{a} - \sqrt{b}} = 2\sqrt[4]{b}\)

Ответ: \(2\sqrt[4]{b}\)

4)

\(\left(\dfrac{a + b}{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}} - \sqrt[3]{ab}\right) : \left(\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b}\right)^{2}\)

Приведем дробь, находящуюся в скобках, к общему знаменателю:

\(\left(\dfrac{a + b}{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}} - \sqrt[3]{ab}\right) = \dfrac{a + b}{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}} - \dfrac{\sqrt[3]{ab} \cdot (\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b})}{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}} =\)
\(= \dfrac{a + b - \sqrt[3]{ab} \cdot (\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b})}{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}}\)

Раскроем скобки в числителе дроби, используя свойство арифметического корня, а затем занесем произведение корней с одинаковыми показателями под общий корень:

\(\dfrac{a + b - \sqrt[3]{ab} \cdot (\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b})}{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}} =\)
\(= \dfrac{a + b - \sqrt[3]{ab} \cdot \sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{ab} \cdot \sqrt[3]{b}}{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}} = \dfrac{a + b - \sqrt[3]{a^{2}b} - \sqrt[3]{ab^{2}}}{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}}\)

Разложим \(\left(\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b}\right)^{2}\) во вторых скобках по формуле сокращенного умножения как квадрат разности:

\(\left(\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b}\right)^{2} = {(\sqrt[3]{a})}^{2} - 2\sqrt[3]{a}\sqrt[3]{b} + {(\sqrt[3]{b})}^{2} = \sqrt[3]{a^{2}} - 2\sqrt[3]{ab} + \sqrt[3]{b^{2}}\)

После подстановки полученных ранее выражений в исходную дробь она примет вид:

\(\dfrac{a + b - \sqrt[3]{a^{2}b} - \sqrt[3]{ab^{2}}}{\left(\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}\right) \cdot (\sqrt[3]{a^{2}} - 2\sqrt[3]{ab} + \sqrt[3]{b^{2}})}\)

Раскроем скобки в знаменателе дроби:

\(\left(\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}\right) \cdot \left(\sqrt[3]{a^{2}} - 2\sqrt[3]{ab} + \sqrt[3]{b^{2}}\right) =\)
\(= \sqrt[3]{a}\sqrt[3]{a^{2}} - 2\sqrt[3]{ab}\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b^{2}}\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}\sqrt[3]{a^{2}} - 2\sqrt[3]{ab}\sqrt[3]{b} + \sqrt[3]{b}\sqrt[3]{b^{2}}\)

Применим свойство арифметического корня и занесем произведение корней с одинаковыми показателями под общий корень:

\(\sqrt[3]{a^{2}a} - 2\sqrt[3]{ab \cdot a} + \sqrt[3]{b^{2}a} + \sqrt[3]{ba^{2}} - 2\sqrt[3]{ab^{2}} + \sqrt[3]{b^{3}} =\)
\(= \sqrt[3]{a^{3}} - 2\sqrt[3]{a^{2}b} + \sqrt[3]{b^{2}a} + \sqrt[3]{ba^{2}} - 2\sqrt[3]{b^{2}a} + \sqrt[3]{b^{3}} =\)
\(= a + b - \sqrt[3]{a^{2}b} - \sqrt[3]{b^{2}a}\)

Таким образом, наша исходная дробь примет вид:

\(\dfrac{a + b - \sqrt[3]{a^{2}b} - \sqrt[3]{ab^{2}}}{a + b - \sqrt[3]{a^{2}b} - \sqrt[3]{b^{2}a}} = 1\)

Ответ: 1