Страница 49 номер 116, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Алимова с ответами и решением
Доказать, что \(\sqrt{4 + 2\sqrt{3}} - \sqrt{4 - 2\sqrt{3}} = 2\).
Возведем в квадрат левую часть равенства и разложим по формуле сокращенного умножения как квадрат разности:
\((a - b)^{2} = a^{2} - 2ab + b^{2}\)
\(\left(\sqrt{4 + 2\sqrt{3}} - \sqrt{4 - 2\sqrt{3}}\right)^{2} =\)
\(= \left(\sqrt{4 + 2\sqrt{3}}\right)^{2} - 2\sqrt{4 + 2\sqrt{3}} \cdot \sqrt{4 - 2\sqrt{3}} + \left(\sqrt{4 - 2\sqrt{3}}\right)^{2} =\)
\(= \left(\sqrt{4 + 2\sqrt{3}}\right)^{2} - 2\sqrt{\left(4 + 2\sqrt{3}\right) \cdot \left(4 - 2\sqrt{3}\right)} + \left(\sqrt{4 - 2\sqrt{3}}\right)^{2} =\)
\(= 4 + 2\sqrt{3} - 2 \cdot \sqrt{4^{2} - \left(2\sqrt{3}\right)^{2}} + 4 - 2\sqrt{3} =\)
\(= 8 - 2 \cdot \sqrt{16 - 2^{2} \cdot \left(\sqrt{3}\right)^{2}} =\)
\(= 8 - 2 \cdot \sqrt{16 - 4 \cdot 3} = 8 - 2 \cdot \sqrt{16 - 12} = 8 - 2 \cdot 2 = 4\)
\(\sqrt{4 + 2\sqrt{3}} - \sqrt{4 - 2\sqrt{3}} > 0\), так как \(4 + 2\sqrt{3} > 4 - 2\sqrt{3}\)
\(\left(\sqrt{4 + 2\sqrt{3}} - \sqrt{4 - 2\sqrt{3}}\right)^{2} = 4 \Rightarrow\)
\(\Rightarrow \sqrt{4 + 2\sqrt{3}} - \sqrt{4 - 2\sqrt{3}} = \sqrt{4} = 2\)
Что и требовалось доказать.
Выше мы представили произведение \((4 + 2\sqrt{3})(4 - 2\sqrt{3})\) по формуле как разность квадратов, а также, используя свойство арифметического корня, занесли произведение \((\sqrt{4 + 2\sqrt{3}})(\sqrt{4 - 2\sqrt{3}})\) под общий корень.
