Страница 48 номер 110, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Алимова с ответами и решением
Вычислить (109—110). 1) \(\frac{\sqrt[3]{49} \cdot \sqrt[3]{112}}{\sqrt[3]{250}}\); 2) \(\frac{\sqrt[4]{54} \cdot \sqrt[4]{120}}{\sqrt[4]{5}}\); 3) \(\frac{\sqrt[4]{32}}{\sqrt[4]{2}} + \sqrt[6]{27^2} - \sqrt{\sqrt[3]{64}}\); 4) \(\sqrt[3]{3\frac{3}{8}} + \sqrt[4]{18} \cdot \sqrt[4]{4\frac{1}{2}} - \sqrt{\sqrt{256}}\); 5) \(\sqrt[3]{11 - \sqrt{57}} \cdot \sqrt[3]{11 + \sqrt{57}}\); 6) \(\sqrt[4]{17 - \sqrt{33}} \cdot \sqrt[4]{17 + \sqrt{33}}\).
При выполнении данного задания будем использовать свойства арифметического корня и степени.
1)
\(\dfrac{\sqrt[3]{49} \cdot \sqrt[3]{112}}{\sqrt[3]{250}} = \dfrac{\sqrt[3]{49 \cdot 112}}{\sqrt[3]{250}} = \sqrt[3]{\dfrac{49 \cdot 112}{250}} = \sqrt[3]{\dfrac{7^{2} \cdot 7 \cdot 16}{25 \cdot 10}} =\)
\(= \sqrt[3]{\dfrac{7^{3} \cdot 2^{4}}{5^{2} \cdot 5 \cdot 2}} = \sqrt[3]{\dfrac{7^{3} \cdot 2^{3}}{5^{3}}} = \sqrt[3]{\left(\dfrac{7 \cdot 2}{5}\right)^{3}} = \dfrac{14}{5} = 2\dfrac{4}{5}\)
2)
\(\dfrac{\sqrt[4]{54} \cdot \sqrt[4]{120}}{\sqrt[4]{5}} = \dfrac{\sqrt[4]{54 \cdot 120}}{\sqrt[4]{5}} = \sqrt[4]{\dfrac{6 \cdot 9 \cdot 6 \cdot 2 \cdot 10}{5}} =\)
\(= \sqrt[4]{3 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 3^{2} \cdot 2^{2}} = \sqrt[4]{3^{4} \cdot 2^{4}} = \sqrt[4]{\left(3 \cdot 2\right)^{4}} = 6\)
3)
\(\dfrac{\sqrt[4]{32}}{\sqrt[4]{2}} + \sqrt[6]{27^{2}} - \sqrt{\sqrt[3]{64}} = \sqrt[4]{\dfrac{32}{2}} + \sqrt[6]{\left(3^{3}\right)^{2}} - \sqrt{\sqrt[3]{4^{3}}} =\)
\(= \sqrt[4]{2^{4}} + \sqrt[6]{3^{6}} - \sqrt{4} = 2 + 3 - 2 = 3\)
4)
\(\sqrt[3]{3\dfrac{3}{8}} + \sqrt[4]{18} \cdot \sqrt[4]{4\dfrac{1}{2}} - \sqrt{\sqrt{256}} =\)
\(= \sqrt[3]{\dfrac{27}{8}} + \sqrt[4]{3^{2} \cdot 2} \cdot \sqrt[4]{\dfrac{9}{2}} - \sqrt{\sqrt{16^{2}}} = \sqrt[3]{\dfrac{3^{3}}{2^{3}}} + \sqrt[4]{\dfrac{3^{2} \cdot 2 \cdot 3^{2}}{2}} -\)
\(-\sqrt{16} = \sqrt[3]{\left(\dfrac{3}{2}\right)^{3}} + \sqrt[4]{3^{4}} - \sqrt{4^{2}} = \dfrac{3}{2} + 3 - 4 = \dfrac{1}{2}\)
5)
\(\sqrt[3]{11 - \sqrt{57}} \cdot \sqrt[3]{11 + \sqrt{57}}\)
Используя свойство арифметического корня занесем все под общий корень:
\(\sqrt[3]{\left(11 - \sqrt{57}\right) \cdot \left(11 + \sqrt{57}\right)} = \sqrt[3]{11^{2} - \left(\sqrt{57}\right)^{2}} = \sqrt[3]{121 - 57} = \sqrt[3]{64} =\)
\(= \sqrt[3]{4^{3}} = 4\)
Здесь мы по формуле разности квадратов свернули произведение, получившееся под знаком корня.
6)
\(\sqrt[4]{17 - \sqrt{33}} \cdot \sqrt[4]{17 + \sqrt{33}}\)
Используя свойство арифметического корня занесем все под общий корень:
\(\sqrt[4]{\left(17 - \sqrt{33}\right) \cdot \left(17 + \sqrt{33}\right)} =\)
\(= \sqrt[4]{17^{2} - \left(\sqrt{33}\right)^{2}} = \sqrt[4]{289 - 33} = \sqrt[4]{256} =\)
\(= \sqrt[4]{16^{2}} = \sqrt[4]{4^{4}} = 4\)
Здесь мы по формуле разности квадратов свернули произведение, получившееся под знаком корня.
