Страница 46 номер 95, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Алимова с ответами и решением
Упростить: 1) \(\sqrt[3]{(x - 2)^3}\) при: а) \(x \ge 2\); б) \(x < 2\); 2) \(\sqrt{(3 - x)^6}\) при: а) \(x \le 3\); б) \(x > 3\).
1) при: а) \(x \geqslant 2\); б) \(x < 2\);
Т.к у нас корень нечетной степени, то подкоренное выражение может принимать отрицательные значения, а следовательно:
\(\sqrt[3]{{(x - 2)}^{3}} = x - 2\)
Ответ: \(x - 2\)
2) при а) \(x \leqslant 3\); б) \(x > 3\);
Т. к у нас корень четной степени, то он не может принимать отрицательные значения, следовательно для корня четной степени справедливо следующее тождество:
\(\sqrt[2k]{b^{2k}} = \left|b\right|\)
а) при \(x \leqslant 3\) выражение \(3 - x \geqslant 0\) для любого \(x\) на этом числовом промежутке, поэтому:
\(\sqrt{{(3 - x)}^{6}} = \sqrt{{(3 - x)}^{2 \cdot 3}} = \sqrt{\left({(3 - x)}^{2}\right)^{3}} =\)
\(= \left(\sqrt{{(3 - x)}^{2}}\right)^{3} = \left(3 - x\right)^{3}\)
\(\sqrt{(3 - x)^{2}} = \left|3 - x\right|\)
б) при \(x > 3\) выражение \(3 - x < 0\) для любого \(x\) на этом числовом промежутке, поэтому:
\(\sqrt{{(3 - x)}^{6}} = \sqrt{{(3 - x)}^{2 \cdot 3}} = \sqrt{\left({(3 - x)}^{2}\right)^{3}} =\)
\(= \left(\sqrt{{(3 - x)}^{2}}\right)^{3} = \left(x - 3\right)^{3}\)
\(\sqrt{(3 - x)^{2}} = \left|x - 3\right|\)
