Страница 56 номер 134, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Алимова с ответами и решением

1)

\(\dfrac{a - b}{\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b}} - \dfrac{a + b}{a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}}\)

Запишем корни в виде степеней с рациональным показателем:

\(\dfrac{a - b}{a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}}} - \dfrac{a + b}{a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}}\)

Приведем наше выражение к общему знаменателю. Общим знаменателем в данном случае является произведение \(\left(a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}}\right) \cdot \left(a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}\right)\)

\(\dfrac{\left(a - b\right)\left(a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}\right) - (a + b)\left(a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}}\right)}{\left(a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}}\right) \cdot \left(a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}\right)}\)

Упростим числитель дроби, раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые:

\(\dfrac{a^{1 + \frac{1}{3}} + ab^{\frac{1}{3}} - ba^{\frac{1}{3}} - b^{1 + \frac{1}{3}} - \left(a^{1 + \frac{1}{3}} - ab^{\frac{1}{3}} + ba^{\frac{1}{3}} - b^{1 + \frac{1}{3}}\right)}{\left(a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}}\right) \cdot \left(a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}\right)} =\)
\(= \dfrac{a^{\frac{4}{3}} + ab^{\frac{1}{3}} - ba^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{4}{3}} - a^{\frac{4}{3}} + ab^{\frac{1}{3}} - ba^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{4}{3}}}{\left(a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}}\right) \cdot \left(a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}\right)} =\)
\(= \dfrac{2ab^{\frac{1}{3}} - 2ba^{\frac{1}{3}}}{\left(a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}}\right) \cdot \left(a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}\right)}\)

Вынесем за скобку общий множитель в числителе полученной дроби:

\(\dfrac{2a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}}\left(a^{1 - \frac{1}{3}} - b^{1 - \frac{1}{3}}\right)}{\left(a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}}\right) \cdot \left(a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}\right)}\)

Произведение в знаменателе дроби представляет собой формулу разности квадратов:

\(\left(a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}}\right) \cdot \left(a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}\right) = \left(a^{\frac{1}{3}}\right)^{2} - \left(b^{\frac{1}{3}}\right)^{2} = a^{\frac{2}{3}} - b^{\frac{2}{3}}\)

Подставим это в нашу дробь:

\(\dfrac{2a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}}\left(a^{\frac{2}{3}} - b^{\frac{2}{3}}\right)}{\left(a^{\frac{2}{3}} - b^{\frac{2}{3}}\right)} = 2a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} = 2\sqrt[3]{ab}\)

Ответ: \(2\sqrt[3]{ab}\)

2)

\(\dfrac{a + b}{a^{\frac{2}{3}} - a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}}} - \dfrac{a - b}{a^{\frac{2}{3}} + a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}}}\)

Разложим числитель первой дроби по формуле суммы кубов:

\(a + b = \left(a^{\frac{1}{3}}\right)^{3} + \left(b^{\frac{1}{3}}\right)^{3} = \left(a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}\right) \cdot \left(\left(a^{\frac{1}{3}}\right)^{2} - a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + \left(b^{\frac{1}{3}}\right)^{2}\right) =\)
\(= \left(a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}\right)\left(a^{\frac{2}{3}} - a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}}\right)\)

Первая дробь нашего исходного выражения примет вид:

\(\dfrac{\left(a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}\right)\left(a^{\frac{2}{3}} - a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}}\right)}{a^{\frac{2}{3}} - a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}}} = a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}\)

Разложим числитель второй дроби по формуле разности кубов:

\(a - b = \left(a^{\frac{1}{3}}\right)^{3} - \left(b^{\frac{1}{3}}\right)^{3} = \left(a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}}\right) \cdot \left(\left(a^{\frac{1}{3}}\right)^{2} + a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + \left(b^{\frac{1}{3}}\right)^{2}\right) =\)
\(= \left(a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}}\right)\left(a^{\frac{2}{3}} + a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}}\right)\)

Подставим это выражение в нашу вторую дробь:

\(\dfrac{\left(a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}}\right)\left(a^{\frac{2}{3}} + a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}}\right)}{a^{\frac{2}{3}} + a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}}} = a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}}\)

Таким образом, у нас получилось следующее выражение:

\(a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}} - \left(a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}}\right) = a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}} - a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}} = 2b^{\frac{1}{3}}\)

Ответ: \(2b^{\frac{1}{3}} = 2\sqrt[3]{b}\)

3)

\(\dfrac{a^{\frac{2}{3}} + b^{\frac{2}{3}}}{a - b} - \dfrac{1}{a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}}}\)

Приведем наше выражение к общему знаменателю:

\(\dfrac{a^{\frac{2}{3}} + b^{\frac{2}{3}} - 1(a^{\frac{2}{3}} + a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}})}{a - b}\)

В данном случае общим знаменателем является двучлен \((a - b)\), так как, если разложить его на множители по формуле разности кубов, мы получим: \(\left(a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}}\right)\left(a^{\frac{2}{3}} + a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}}\right)\)

Отсюда легко определить дополнительный множитель для числителя второй дроби:

\(\dfrac{a - b}{a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}}} = a^{\frac{2}{3}} + a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}}\)

Упростим получившуюся у нас дробь, раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые:

\(\dfrac{a^{\frac{2}{3}} + b^{\frac{2}{3}} - a^{\frac{2}{3}} - a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{2}{3}}}{a - b} = \dfrac{a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}}}{b - a} = \dfrac{(ab)^{\frac{1}{3}}}{b - a} = \dfrac{\sqrt[3]{ab}}{b - a}\)

Ответ: \(\frac{\sqrt[3]{ab}}{b - a}\)

4)

\(\dfrac{a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}}}{a + b} + \dfrac{1}{a^{\frac{2}{3}} - a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}}}\)

Приведем наше выражение к общему знаменателю, для чего разложим \((a + b)\) по формуле суммы кубов:

\(a + b = \left(a^{\frac{1}{3}}\right)^{3} + \left(b^{\frac{1}{3}}\right)^{3} = \left(a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}\right) \cdot \left(\left(a^{\frac{1}{3}}\right)^{2} - a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + \left(b^{\frac{1}{3}}\right)^{2}\right) =\)
\(= \left(a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}\right)\left(a^{\frac{2}{3}} - a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}}\right)\)

Отсюда легко определить дополнительный множитель для числителя второй дроби:

\(\dfrac{a + b}{a^{\frac{2}{3}} - a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}}} = a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}\)

В результате мы получили выражение:

\(\dfrac{\left(a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}}\right) \cdot 1 + 1\left(a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}\right)}{a + b} =\)
\(= \dfrac{a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}} + a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}}{a + b} = \dfrac{a^{\frac{1}{3}} + a^{\frac{1}{3}}}{a + b} = \dfrac{2a^{\frac{1}{3}}}{a + b} = \dfrac{2\sqrt[3]{a}}{a + b}\)

Ответ: \(\frac{2\sqrt[3]{a}}{a + b}\)