Страница 55 номер 127, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Алимова с ответами и решением

В процессе решения данной задачи мы будем использовать свойства степени с целым и рациональным показателями, а также свойства арифметического корня

1)

\(\left(a^{4}\right)^{-\frac{3}{4}} \cdot \left(b^{-\frac{2}{3}}\right)^{-6}\)
\(\left(a^{4}\right)^{-\frac{3}{4}} \cdot \left(b^{-\frac{2}{3}}\right)^{-6} = a^{4 \cdot \left(-\frac{3}{4}\right)} \cdot b^{-\frac{2}{3} \cdot \left(-6\right)} =\)
\(= a^{\frac{4 \cdot \left(-3\right)}{4}} \cdot b^{\frac{-2 \cdot \left(-6\right)}{3}} = a^{-3} \cdot b^{\left(-2\right) \cdot \left(-2\right)} = \dfrac{1}{a^{3}} \cdot b^{4} = \dfrac{b^{4}}{a^{3}}\)

2)

\(\left(\left(\dfrac{a^{6}}{b^{-3}}\right)^{4}\right)^{\frac{1}{12}}\)
\(\left(\left(\dfrac{a^{6}}{b^{-3}}\right)^{4}\right)^{\frac{1}{12}} = \left(\dfrac{a^{6 \cdot 4}}{b^{(-3) \cdot 4}}\right)^{\frac{1}{12}} = \left(\dfrac{a^{24}}{b^{-12}}\right)^{\frac{1}{12}} =\)
\(= \dfrac{\left(a^{24}\right)^{\frac{1}{12}}}{\left(b^{-12}\right)^{\frac{1}{12}}} = \dfrac{a^{\frac{24}{12}}}{b^{-\frac{12}{12}}} = \dfrac{a^{2}}{b^{-1}} = \dfrac{a^{2}}{\dfrac{1}{b}} = a^{2} \cdot b\)

3)

\(\left(\sqrt{x^{0{,}4}y^{1{,}2}}\right)^{10}\)
\(\left(\sqrt{x^{0{,}4}y^{1{,}2}}\right)^{10} = \left(\sqrt{x^{\frac{4}{10}}} \cdot \sqrt{y^{\frac{12}{10}}}\right)^{10} =\)
\(= \left(\sqrt{x^{\frac{4}{10}}}\right)^{10} \cdot \left(\sqrt{y^{\frac{12}{10}}}\right)^{10} = \sqrt{\left(x^{\frac{4}{10}}\right)^{10}} \cdot \sqrt{\left(y^{\frac{12}{10}}\right)^{10}} =\)
\(= \sqrt{x^{\frac{4 \cdot 10}{10}}} \cdot \sqrt{y^{\frac{12 \cdot 10}{10}}} = \sqrt{x^{4}}\sqrt{y^{12}} = x^{\frac{4}{2}}y^{\frac{12}{2}} = x^{2}y^{6}\)

4)

\(x^{-2\sqrt{2}} \cdot \left(\dfrac{1}{x^{-\sqrt{2} - 1}}\right)^{\sqrt{2} + 1}\)
\(x^{-2\sqrt{2}} \cdot \left(\dfrac{1}{x^{-\sqrt{2} - 1}}\right)^{\sqrt{2} + 1} = x^{-2\sqrt{2}} \cdot \left(x^{-\left(-\sqrt{2} - 1\right)}\right)^{\sqrt{2} + 1} =\)
\(= x^{-2\sqrt{2}} \cdot x^{\left(\sqrt{2} + 1\right)\left(\sqrt{2} + 1\right)} = x^{-2\sqrt{2}} \cdot x^{\left(\sqrt{2} + 1\right)^{2}} = x^{-2\sqrt{2}} \cdot x^{\sqrt{2^{2}} + 2\sqrt{2} + 1}\)

Мы раскрыли показатель степени второго множителя, полученного в результате преобразования произведения по формуле сокращенного умножения, как квадрат суммы

\(\left(\sqrt{2} + 1\right)^{2} = \left(\sqrt{2}\right)^{2} + 2\sqrt{2} \cdot 1 + 1 = \sqrt{2^{2}} + 2\sqrt{2} + 1\)
\(x^{-2\sqrt{2}} \cdot x^{\sqrt{2^{2}} + 2\sqrt{2} + 1} = x^{-2\sqrt{2}} \cdot x^{2 + 2\sqrt{2} + 1} = x^{-2\sqrt{2} + 2 + 2\sqrt{2} + 1} = x^{3}\)