Страница 55 номер 129, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Алимова с ответами и решением
Вычислить: 1) \(\left(2^{\frac{5}{3}} \cdot 3^{-\frac{1}{3}} - 3^{\frac{5}{3}} \cdot 2^{-\frac{1}{3}}\right) \cdot \sqrt[3]{6}\); 2) \(\left(5^{\frac{1}{4}} : 2^{\frac{3}{4}} - 2^{\frac{1}{4}} : 5^{\frac{3}{4}}\right)\sqrt[4]{1000}\); 3) \((2^{\sqrt{2}})^{\sqrt{2}} + (3^{\sqrt{3} + 1})^{\sqrt{3} - 1}\); 4) \(\left((0{,}5)^{\frac{3}{5}}\right)^{-5} - (4^{-0{,}3})^{-\frac{5}{3}}\).
При выполнении данного задания будем использовать свойства степени с рациональным показателем:
1)
\(\left(2^{\frac{5}{3}}3^{-\frac{1}{3}} - 3^{\frac{5}{3}}2^{-\frac{1}{3}}\right) \cdot \sqrt[3]{6}\)
\(\left(2^{\frac{5}{3}}3^{-\frac{1}{3}} - 3^{\frac{5}{3}}2^{-\frac{1}{3}}\right) \cdot \sqrt[3]{6} = 3^{-\frac{1}{3}}2^{-\frac{1}{3}}\left(2^{\frac{5}{3} + \frac{1}{3}}3^{0} - 3^{\frac{5}{3} + \frac{1}{3}}2^{0}\right) \cdot \sqrt[3]{3 \cdot 2} =\)
\(= 3^{-\frac{1}{3}}2^{-\frac{1}{3}}\left(2^{\frac{6}{3}} - 3^{\frac{6}{3}}\right)\sqrt[3]{3 \cdot 2} = \left(3 \cdot 2\right)^{-\frac{1}{3}}\left(2^{2} - 3^{2}\right) \cdot \sqrt[3]{3 \cdot 2} =\)
\(= \dfrac{1}{\left(3 \cdot 2\right)^{\frac{1}{3}}} \cdot \left(4 - 9\right) \cdot \sqrt[3]{3 \cdot 2} = \dfrac{\sqrt[3]{3 \cdot 2}}{\sqrt[3]{3 \cdot 2}} \cdot \left(-5\right) = -5\)
Ответ: \(-5\)
2)
\(\left(5^{\frac{1}{4}} : 2^{\frac{3}{4}} - 2^{\frac{1}{4}} : 5^{\frac{3}{4}}\right) \cdot \sqrt[4]{1000}\)
\(\left(5^{\frac{1}{4}} : 2^{\frac{3}{4}} - 2^{\frac{1}{4}} : 5^{\frac{3}{4}}\right) \cdot \sqrt[4]{1000} = \left(\dfrac{5^{\frac{1}{4}}}{2^{\frac{3}{4}}} - \dfrac{2^{\frac{1}{4}}}{5^{\frac{3}{4}}}\right) \cdot \sqrt[4]{10^{3}} =\)
\(= \left(\dfrac{5^{\frac{1}{4}} \cdot 5^{\frac{3}{4}} - 2^{\frac{1}{4}} \cdot 2^{\frac{3}{4}}}{2^{\frac{3}{4}} \cdot 5^{\frac{3}{4}}}\right) \cdot \sqrt[4]{10^{3}} = \dfrac{\left(5^{\frac{1}{4} + \frac{3}{4}} - 2^{\frac{1}{4} + \frac{3}{4}}\right) \cdot \sqrt[4]{10^{3}}}{\left(2 \cdot 5\right)^{\frac{3}{4}}} =\)
\(= \dfrac{\left(5^{\frac{4}{4}} - 2^{\frac{4}{4}}\right) \cdot \sqrt[4]{10^{3}}}{10^{\frac{3}{4}}} = \dfrac{\left(5 - 2\right) \cdot \sqrt[4]{10^{3}}}{\sqrt[4]{10^{3}}} = 5 - 2 = 3\)
Ответ: 3
3)
\(\left(2^{\sqrt{2}}\right)^{\sqrt{2}} + \left(3^{\sqrt{3} + 1}\right)^{\sqrt{3} - 1}\)
\(\left(2^{\sqrt{2}}\right)^{\sqrt{2}} + \left(3^{\sqrt{3} + 1}\right)^{\sqrt{3} - 1} =\)
\(= 2^{\left(\sqrt{2}\right)^{2}} + 3^{\left(\sqrt{3} + 1\right)\left(\sqrt{3} - 1\right)} = 2^{2} + 3^{2} = 4 + 9 = 13\)
В процессе решения мы свернули произведение \(\left(\sqrt{3} + 1\right)\left(\sqrt{3} - 1\right)\) по формуле как разность квадратов:
\(\left(\sqrt{3} + 1\right)\left(\sqrt{3} - 1\right) = \left(\sqrt{3}\right)^{2} - 1^{2} = 3 - 1 = 2\)
Ответ: 13
4)
\(\left(\left(0{,}5\right)^{\frac{3}{5}}\right)^{-5} - \left(\left.4\right.^{-0{,}3}\right)^{-\frac{5}{3}}\)
\(\left(\left(0{,}5\right)^{\frac{3}{5}}\right)^{-5} - \left(\left.4\right.^{-0{,}3}\right)^{-\frac{5}{3}} = \left(0{,}5\right)^{\frac{3}{5} \cdot (-5)} - 4^{(-\frac{3}{10}) \cdot (-\frac{5}{3})} = (0{,}5)^{-3} - 4^{\frac{15}{30}} =\)
\(= \left(\dfrac{1}{2}\right)^{-3} - 4^{\frac{1}{2}} = \left(\dfrac{1}{\dfrac{1}{2^{3}}}\right) - \left(2^{2}\right)^{\frac{1}{2}} = 2^{3} - 2^{2 \cdot \frac{1}{2}} = 8 - 2^{1} = 6\)
Ответ: 6
