Страница 56 номер 131, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Алимова с ответами и решением
Сократить дробь: 1) \(\frac{x - y}{x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}}}\); 2) \(\frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{a^{\frac{1}{4}} - b^{\frac{1}{4}}}\); 3) \(\frac{m^{\frac{1}{2}} + n^{\frac{1}{2}}}{m + 2\sqrt{mn} + n}\); 4) \(\frac{c - 2c^{\frac{1}{2}} + 1}{\sqrt{c} - 1}\).
1)
\(\dfrac{x - y}{x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}}}\)
Представим числитель нашей дроби в виде разности квадратов корней, а затем разложим полученное выражение по соответствующей формуле сокращенного умножения
\(x - y = \left(\sqrt{x}\right)^{2} - \left(\sqrt{y}\right)^{2} = \left(\sqrt{x} - \sqrt{y}\right)\left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\)
Запишем корни в виде степеней с рациональным показателем и подставим то, что у нас получилось, в исходное выражение:
\(\dfrac{\left(x^{\frac{1}{2}} - y^{\frac{1}{2}}\right)\left(x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}}\right)}{x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}}} = x^{\frac{1}{2}} - y^{\frac{1}{2}} = \sqrt{x} - \sqrt{y}\)
Ответ: \(\sqrt{x} - \sqrt{y}\)
2)
\(\dfrac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{a^{\frac{1}{4}} - b^{\frac{1}{4}}}\)
Представим корни в виде степеней с рациональным показателем и, используя свойства таких степеней, приведем числитель нашей дроби к следующему виду:
\(\dfrac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{a^{\frac{1}{4}} - b^{\frac{1}{4}}} = \dfrac{a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{4}} - b^{\frac{1}{4}}} = \dfrac{a^{\frac{2}{4}} - b^{\frac{2}{4}}}{a^{\frac{1}{4}} - b^{\frac{1}{4}}} = \dfrac{a^{\frac{1}{4} \cdot 2} - b^{\frac{1}{4} \cdot 2}}{a^{\frac{1}{4}} - b^{\frac{1}{4}}} = \dfrac{\left(a^{\frac{1}{4}}\right)^{2} - \left(b^{\frac{1}{4}}\right)^{2}}{a^{\frac{1}{4}} - b^{\frac{1}{4}}}\)
Полученное в числителе выражение раскладывается по формуле разности квадратов:
\(\left(a^{\frac{1}{4}}\right)^{2} - \left(b^{\frac{1}{4}}\right)^{2} = \left(a^{\frac{1}{4}} - b^{\frac{1}{4}}\right)\left(a^{\frac{1}{4}} + b^{\frac{1}{4}}\right)\)
\(\dfrac{\left(a^{\frac{1}{4}}\right)^{2} - \left(b^{\frac{1}{4}}\right)^{2}}{a^{\frac{1}{4}} - b^{\frac{1}{4}}} = \dfrac{\left(a^{\frac{1}{4}} - b^{\frac{1}{4}}\right)\left(a^{\frac{1}{4}} + b^{\frac{1}{4}}\right)}{\left(a^{\frac{1}{4}} - b^{\frac{1}{4}}\right)} = a^{\frac{1}{4}} + b^{\frac{1}{4}}\)
Ответ: \(a^{\frac{1}{4}} + b^{\frac{1}{4}}\)
3)
\(\dfrac{m^{\frac{1}{2}} + n^{\frac{1}{2}}}{m + 2\sqrt{mn} + n}\)
Выражение, находящееся в знаменателе дроби, представляет собой формулу квадрата суммы:
\(m + 2\sqrt{mn} + n = \left(\sqrt{m}\right)^{2} + 2\sqrt{m} \cdot \sqrt{n} + \left(\sqrt{n}\right)^{2} = \left(\sqrt{m} + \sqrt{n}\right)^{2}\)
В данном случае мы привели формулу сокращенного умножения к знакомому виду, используя свойства арифметического корня.
Далее необходимо записать корни выражения в виде степеней с рациональными показателями:
\(\left(\sqrt{m} + \sqrt{n}\right)^{2} = \left(m^{\frac{1}{2}} + n^{\frac{1}{2}}\right)^{2}\)
\(\dfrac{m^{\frac{1}{2}} + n^{\frac{1}{2}}}{\left(m^{\frac{1}{2}} + n^{\frac{1}{2}}\right)^{2}} = \dfrac{1}{m^{\frac{1}{2}} + n^{\frac{1}{2}}} = \left(m^{\frac{1}{2}} + n^{\frac{1}{2}}\right)^{-1}\)
Ответ: \(\left(m^{\frac{1}{2}} + n^{\frac{1}{2}}\right)^{-1}\)
4)
\(\dfrac{c - 2c^{\frac{1}{2}} + 1}{\sqrt{c} - 1}\)
Выражение, находящееся в числителе нашей дроби, представляет собой формулу квадрата разности. Приведем ее к привычному виду, используя свойства арифметического корня:
\(c - 2c^{\frac{1}{2}} + 1 = \left(\sqrt{c}\right)^{2} - 2\sqrt{c} \cdot 1 + 1 = \left(\sqrt{c} - 1\right)^{2}\)
Подставим результат в исходное выражение:
\(\dfrac{c - 2c^{\frac{1}{2}} + 1}{\sqrt{c} - 1} = \dfrac{\left(\sqrt{c} - 1\right)^{2}}{\sqrt{c} - 1} = \sqrt{c} - 1\)
Ответ: \(\sqrt{c} - 1\)
