Страница 48 номер 108, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Алимова с ответами и решением
Упростить выражение: 1) \(\left(\sqrt[3]{x}\right)^6\); 2) \(\left(\sqrt[3]{y^2}\right)^3\); 3) \(\left(\sqrt{a} \cdot \sqrt[3]{b}\right)^6\); 4) \(\left(\sqrt[3]{a^2} \cdot \sqrt[4]{b^3}\right)^{12}\); 5) \(\left(\sqrt{\sqrt[3]{a^2b}}\right)^6\); 6) \(\left(\sqrt[3]{\sqrt[4]{27a^3}}\right)^4\).
При выполнении данного задания будем использовать свойства арифметического корня и степени.
1)
\(\left(\sqrt[3]{x}\right)^{6} = \sqrt[3]{x^{6}} = \sqrt[3]{\left(x^{2}\right)^{3}} = x^{2}\)
2)
\(\left(\sqrt[3]{y^{2}}\right)^{3} = \sqrt[3]{\left(y^{2}\right)^{3}} = y^{2}\)
3)
\(\left(\sqrt{a} \cdot \sqrt[3]{b}\right)^{6} = \left(\sqrt{a}\right)^{6} \cdot \left(\sqrt[3]{b}\right)^{6} = \sqrt{a^{6}} \cdot \sqrt[3]{b^{6}} = \sqrt{\left(a^{3}\right)^{2}} \cdot \sqrt[3]{\left(b^{2}\right)^{3}} = a^{3}b^{2}\)
4)
\(\left(\sqrt[3]{a^{2}} \cdot \sqrt[4]{b^{3}}\right)^{12} = \left(\sqrt[3]{a^{2}}\right)^{12} \cdot \left(\sqrt[4]{b^{3}}\right)^{12} =\)
\(= \sqrt[3]{\left(a^{2}\right)^{12}} \cdot \sqrt[4]{\left(b^{3}\right)^{12}} = \sqrt[3]{a^{24}} \cdot \sqrt[4]{b^{36}} =\)
\(= \sqrt[3]{\left(a^{8}\right)^{3}} \cdot \sqrt[4]{\left(b^{9}\right)^{4}} = a^{8}b^{9}\)
5)
\(\left(\sqrt{\sqrt[3]{a^{2}b}}\right)^{6} = \left(\sqrt[2 \cdot 3]{a^{2}b}\right)^{6} = \left(\sqrt[6]{a^{2}b}\right)^{6} = \sqrt[6]{\left(a^{2}b\right)^{6}} = a^{2}b\)
6)
\(\left(\sqrt[3]{\sqrt[4]{27a^{3}}}\right)^{4} = \sqrt[3]{\left(\sqrt[4]{27a^{3}}\right)^{4}} = \sqrt[3]{27a^{3}} = \sqrt[3]{3^{3}a^{3}} = \sqrt[3]{\left(3a\right)^{3}} = 3a\)
