Страница 55 номер 124, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Алимова с ответами и решением
Найти значение выражения: 1) \(\sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[6]{a}\) при \(a = 0{,}09\); 2) \(\sqrt{b} : \sqrt[6]{b}\) при \(b = 27\); 3) \(\frac{\sqrt{b}\sqrt[3]{b^2}}{\sqrt[6]{b}}\) при \(b = 1{,}3\); 4) \(\sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[4]{a} \cdot \sqrt[12]{a^5}\) при \(a = 2{,}7\).
При выполнении данного задания воспользуемся определением степени с рациональным показателем и ее свойствами, а также свойствами степени с целым показателем
1) \(\sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[6]{a}\) при а = 0,09
\(a^{\frac{1}{3}}a^{\frac{1}{6}} = a^{\frac{1}{3} + \frac{1}{6}} = a^{\frac{2}{6} + \frac{1}{6}} = a^{\frac{3}{6}} = a^{\frac{1}{2}} = \sqrt{a}\)
\(\sqrt{a} = \sqrt{0{,}09} = \sqrt{\dfrac{9}{100}} = \sqrt{\dfrac{3^{2}}{10^{2}}} = \sqrt{\left(\dfrac{3}{10}\right)^{2}} = \dfrac{3}{10} = 0{,}3\)
2) \(\sqrt{b} : \sqrt[6]{b}\) при \(b = 27\)
\(b^{\frac{1}{2}} : b^{\frac{1}{6}} = b^{\frac{1}{2} - \frac{1}{6}} = b^{\frac{3}{6} - \frac{1}{6}} = b^{\frac{2}{6}} = b^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{b}\)
\(\sqrt[3]{b} = \sqrt[3]{27} = \sqrt[3]{3^{3}} = 3\)
3) \(\frac{\sqrt{b}\sqrt[3]{b^{2}}}{\sqrt[6]{b}}\) при \(b = 1{,}3\)
\(\dfrac{\sqrt{b}\sqrt[3]{b^{2}}}{\sqrt[6]{b}} = \dfrac{b^{\frac{1}{2}}b^{\frac{2}{3}}}{b^{\frac{1}{6}}} = \dfrac{b^{\frac{1}{2} + \frac{2}{3}}}{b^{\frac{1}{6}}} = \dfrac{b^{\frac{3 + 2 \cdot 2}{6}}}{b^{\frac{1}{6}}} = \dfrac{b^{\frac{3 + 4}{6}}}{b^{\frac{1}{6}}} = \dfrac{b^{\frac{7}{6}}}{b^{\frac{1}{6}}} = b^{\frac{7}{6} - \frac{1}{6}} = b = 1{,}3\)
4) \(\sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[4]{a} \cdot \sqrt[12]{a^{5}}\) при \(a = 2{,}7\)
\(\sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[4]{a} \cdot \sqrt[12]{a^{5}} = a^{\frac{1}{3}}a^{\frac{1}{4}}a^{\frac{5}{12}} = a^{\frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{5}{12}} = a^{1} = 2{,}7\)
В процессе решения необходимо привести дроби, находящиеся в показателе степени, к общему знаменателю:
\(\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{5}{12} = \dfrac{4 + 3 + 5}{12} = \dfrac{12}{12} = 1\)
