Страница 55 номер 126, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Алимова с ответами и решением
Вычислить: 1) \(2^{2 - 3\sqrt{5}} \cdot 8^{\sqrt{5}}\); 2) \(3^{1 + 2\sqrt[3]{2}} : 9^{\sqrt[3]{2}}\); 3) \(6^{1 + 2\sqrt{3}} : (4^{\sqrt{3}} \cdot 9^{\sqrt{3}})\); 4) \((5^{1 + \sqrt{2}})^{1 - \sqrt{2}}\).
1)
\(2^{2 - 3\sqrt{5}} \cdot 8^{\sqrt{5}}\)
Представим число 8 в виде степени с основанием 2 (\(8 = 2^{3}\)), тогда:
\(2^{2 - 3\sqrt{5}} \cdot 8^{\sqrt{5}} = 2^{2 - 3\sqrt{5}} \cdot 2^{3\sqrt{5}} = 2^{2 - 3\sqrt{5} + 3\sqrt{5}} = 2^{2} = 4\)
2)
\(3^{1 + 2\sqrt[3]{2}} : 9^{\sqrt[3]{2}}\)
Представим число 9 в виде степени с основанием 3 (\(9 = 3^{2}\)), тогда:
\(3^{1 + 2\sqrt[3]{2}} : 9^{\sqrt[3]{2}} = 3^{1 + 2\sqrt[3]{2}} : 3^{2\sqrt[3]{2}} = 3^{1 + 2\sqrt[3]{2} - 2\sqrt[3]{2}} = 3^{1} = 3\)
3)
\(6^{1 + 2\sqrt{3}} : (4^{\sqrt{3}} \cdot 9^{\sqrt{3}})\)
Представим числа 4 и 9 в виде степени с основанием 2 и 3 (\(4 = 2^{2}\) и \(9 = 3^{2}\)), тогда:
\(6^{1 + 2\sqrt{3}} : (4^{\sqrt{3}} \cdot 9^{\sqrt{3}}) = 6^{1 + 2\sqrt{3}} : ({2^{2\sqrt{3}} \cdot 3}^{2\sqrt{3}}) =\)
\(= 6^{1 + 2\sqrt{3}} : (2 \cdot 3)^{2\sqrt{3}} = 6^{1 + 2\sqrt{3}} : 6^{2\sqrt{3}} = 6^{1 + 2\sqrt{3} - 2\sqrt{3}} = 6^{1} = 6\)
4)
\(\left(5^{1 + \sqrt{2}}\right)^{1 - \sqrt{2}}\)
\(\left(5^{1 + \sqrt{2}}\right)^{1 - \sqrt{2}} = 5^{(1 + \sqrt{2})(1 - \sqrt{2})} = 5^{-1} = \dfrac{1}{5}\)
В данном случае мы применили к произведению \((1 + \sqrt{2})(1 - \sqrt{2})\) формулу разности квадратов:
\(\left(1 + \sqrt{2}\right)\left(1 - \sqrt{2}\right) = 1^{2} - {(\sqrt{2})}^{2} = 1 - 2 = -1\)
