Страница 49 номер 111, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Алимова с ответами и решением
Упростить выражение (111—113). 1) \(\sqrt[3]{\frac{ab^2}{c}} \cdot \sqrt[3]{\frac{a^5b}{c^2}}\); 2) \(\sqrt[5]{\frac{8a^3}{b^2}} \cdot \sqrt[5]{\frac{4a^7}{b^3}}\); 3) \(\frac{\sqrt[4]{a^2b^2c} \cdot \sqrt[4]{a^3b^3c^2}}{\sqrt[4]{abc^3}}\); 4) \(\frac{\sqrt[3]{2a^4b} \cdot \sqrt[3]{4ab}}{2b\sqrt[3]{a^2b^2}}\); 5) \(\left(\sqrt[5]{a^3}\right)^5 \cdot \left(\sqrt[3]{b^2}\right)^3\); 6) \(\left(\sqrt[4]{a^3b^3}\right)^4 : \left(\sqrt[3]{ab^2}\right)^3\).
1)
\(\sqrt[3]{\dfrac{ab^{2}}{c}} \cdot \sqrt[3]{\dfrac{a^{5}b}{c^{2}}}\)
Используя свойство арифметического корня, занесем наше выражение под общий корень:
\(\sqrt[3]{\dfrac{a \cdot b^{2} \cdot a^{5} \cdot b}{c \cdot c^{2}}}\)
Упростим подкоренное выражение, используя свойства степени, а затем извлечем корень
\(\sqrt[3]{\dfrac{a^{5 + 1}b^{2 + 1}}{c^{2 + 1}}} = \sqrt[3]{\dfrac{a^{6}b^{3}}{c^{3}}} = \sqrt[3]{\dfrac{{(a^{2})}^{3}b^{3}}{c^{3}}} = \sqrt[3]{\dfrac{{(a^{2}b)}^{3}}{c^{3}}} = \sqrt[3]{\left(\dfrac{a^{2}b}{c}\right)^{3}} = \dfrac{a^{2}b}{c}\)
2)
\(\sqrt[5]{\dfrac{8a^{3}}{b^{2}}} \cdot \sqrt[5]{\dfrac{{4a}^{7}}{b^{3}}}\)
Используя свойство арифметического корня, занесем наше выражение под общий корень:
\(\sqrt[5]{\dfrac{8a^{3} \cdot 4a^{7}}{b^{2}{\cdot b}^{3}}}\)
Упростим подкоренное выражение, используя свойства степени, а затем извлечем корень:
\(\sqrt[5]{\dfrac{2^{3} \cdot 2^{2} \cdot a^{7 + 3}}{b^{3 + 2}}} = \sqrt[5]{\dfrac{2^{3 + 2} \cdot a^{10}}{b^{5}}} = \sqrt[5]{\dfrac{2^{5} \cdot \left(a^{2}\right)^{5}}{b^{5}}} = \sqrt[5]{\left(\dfrac{2\left.a^{2}\right.}{b}\right)^{5}} = \dfrac{2a^{2}}{b}\)
3)
\(\dfrac{\sqrt[4]{a^{2}b^{2}c} \cdot \sqrt[4]{a^{3}b^{3}c^{2}}}{\sqrt[4]{abc^{3}}}\)
Используя свойство арифметического корня занесем числитель дроби под общий корень и, используя свойства степени, упростим его:
\(\dfrac{\sqrt[4]{a^{2}b^{2}c \cdot a^{3}b^{3}c^{2}}}{\sqrt[4]{abc^{3}}} = \dfrac{\sqrt[4]{a^{2 + 3}b^{2 + 3}c^{2 + 1}}}{\sqrt[4]{abc^{3}}}\)
Занесем всю дробь под общий корень, а затем, используя свойства степени, упростим ее и извлечем корень:
\(\sqrt[4]{\dfrac{a^{5}b^{5}c^{3}}{abc^{3}}} = \sqrt[4]{a^{4}b^{4}} = \sqrt[4]{(ab)^{4}} = ab\)
4)
\(\dfrac{\sqrt[3]{2a^{4}b} \cdot \sqrt[3]{4ab}}{2b\sqrt[3]{a^{2}b^{2}}}\)
Используя свойство арифметического корня занесем числитель дроби под общий корень и, используя свойства степени, упростим его:
\(\dfrac{\sqrt[3]{2a^{4} \cdot b \cdot 4 \cdot a \cdot b}}{2b\sqrt[3]{a^{2}b^{2}}} = \dfrac{\sqrt[3]{2^{3}a^{5}b^{2}}}{2b\sqrt[3]{a^{2}b^{2}}}\)
Занесем всю дробь под общий корень, а затем, используя свойства степени, упростим ее и извлечем корень:
\(\dfrac{1}{2b} \cdot \sqrt[3]{\dfrac{2^{3}a^{5}b^{2}}{a^{2}b^{2}}} = \dfrac{1}{2b} \cdot \sqrt[3]{2^{3}a^{5 - 2}} = \dfrac{1}{2b} \cdot \sqrt[3]{2^{3}a^{3}} = \dfrac{1}{2b}\sqrt[3]{(2a)^{3}} = \dfrac{2a}{2b} = \dfrac{a}{b}\)
5)
\(\left(\sqrt[5]{a^{3}}\right)^{5} \cdot \left(\sqrt[3]{b^{2}}\right)^{3} = \left.\sqrt[5]{\left(a^{3}\right)^{5}}\right. \cdot \left.\sqrt[3]{\left(b^{2}\right)^{3}}\right. = a^{3}b^{2}\)
6)
\(\left(\sqrt[4]{a^{3}b^{3}}\right)^{4} : \left(\sqrt[3]{ab^{2}}\right)^{3} = \sqrt[4]{\left(a^{3}b^{3}\right)^{4}} : \sqrt[3]{\left(ab^{2}\right)^{3}} =\)
\(= a^{3}b^{3} : ab^{2} = a^{3 - 1}b^{3 - 2} = a^{2}b\)
