Страница 56 номер 133, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Алимова с ответами и решением

1)

\(\dfrac{a^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} - \dfrac{ab^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{b} - \sqrt{a}} - \dfrac{2a^{2} - 4ab}{a - b}\)
\(\dfrac{a^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} - \dfrac{ab^{\frac{1}{2}}}{-(\sqrt{a} - \sqrt{b})} - \dfrac{2a^{2} - 4ab}{a - b}\)

Разложим \((a - b)\) на множители по формуле разности квадратов \(a - b =\)

\(= \left(\sqrt{a}\right)^{2} - \left(\sqrt{b}\right)^{2} = \left(\sqrt{a} - \sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a} + \sqrt{b}\right) = \left(a^{\frac{1}{2}}{-b}^{\frac{1}{2}}\right) \cdot \left(a^{\frac{1}{2}}{+b}^{\frac{1}{2}}\right)\)
\(\dfrac{a^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} + \dfrac{ab^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{a} - \sqrt{b}} - \dfrac{2a^{2} - 4ab}{(\sqrt{a} - \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b})} =\)
\(= \dfrac{a^{\frac{3}{2}}\left(\sqrt{a} - \sqrt{b}\right) + ab^{\frac{1}{2}}\left(\sqrt{a} + \sqrt{b}\right) - 2a^{2} + 4ab}{(\sqrt{a} - \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b})}\)

Упростим числитель дроби, раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые, а также запишем все корни в нем в виде степеней с рациональными показателями:

\(a^{\frac{3}{2}}\left(\sqrt{a} - \sqrt{b}\right) + ab^{\frac{1}{2}}\left(\sqrt{a} + \sqrt{b}\right) - 2a^{2} + 4ab =\)
\(= a^{\frac{3}{2} + \frac{1}{2}} - a^{\frac{3}{2}} \cdot b^{\frac{1}{2}} + a^{1 + \frac{1}{2}} \cdot b^{\frac{1}{2}} + ab^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} - 2a^{2} + 4ab =\)
\(= a^{\frac{4}{2}} - a^{\frac{3}{2}}b^{\frac{1}{2}} + a^{\frac{3}{2}}b^{\frac{1}{2}} + ab - 2a^{2} + 4ab = a^{2} + ab - 2a^{2} + 4ab =\)
\(= -a^{2} + 5ab = a(5b - a)\)

Наша дробь примет вид:

\(\dfrac{a(5b - a)}{(\sqrt{a} - \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b})} = \dfrac{a(5b - a)}{a - b}\)

Ответ: \(\frac{a(5b - a)}{a - b}\)

2)

\(\dfrac{3xy - y^{2}}{x - y} - \dfrac{y\sqrt{y}}{\sqrt{x} - \sqrt{y}} - \dfrac{y\sqrt{x}}{\sqrt{x} + \sqrt{y}}\)

Разложим \((x - y)\) на множители по формуле разности квадратов \(x - y =\)

\(= \left(\sqrt{x}\right)^{2} - \left(\sqrt{y}\right)^{2} = \left(\sqrt{x} - \sqrt{y}\right)\left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right)\)

Приведем наше выражение к общему знаменателю:

\(\dfrac{3xy - y^{2} - y\sqrt{y}\left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right) - y\sqrt{x}(\sqrt{x} - \sqrt{y})}{x - y}\)

Упростим числитель дроби, раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые:

\(3xy - y^{2} - y\sqrt{y}\left(\sqrt{x} + \sqrt{y}\right) - y\sqrt{x}\left(\sqrt{x} - \sqrt{y}\right) =\)
\(= 3xy - y^{2} - y\sqrt{y}\sqrt{x} - y\sqrt{y}\sqrt{y} - y\sqrt{x}\sqrt{x} + y\sqrt{x}\sqrt{y} =\)
\(= 3xy - y^{2} - y\sqrt{xy} - y \cdot y - yx + y\sqrt{xy} =\)
\(= 3xy - y^{2} - y^{2} - yx = -2y^{2} + 2xy\)

Таким образом, наша дробь примет вид:

\(\dfrac{2xy - 2y^{2}}{x - y} = \dfrac{2y(x - y)}{x - y} = 2y\)

Ответ: \(2y\)

3)

\(\dfrac{1}{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}} - \dfrac{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}}{a^{\frac{2}{3}} - \sqrt[3]{ab} + b^{\frac{2}{3}}}\)

Приведем наше выражение к общему знаменателю. Общим знаменателем в данном случае будет произведение \((\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b})(a^{\frac{2}{3}} - \sqrt[3]{ab} + b^{\frac{2}{3}}),\) которое представляет собой формулу суммы кубов: \(a^{3} + b^{3} = (a + b)(a^{2} - ab + b^{2})\)

Корни выражения будем записывать в виде степеней с рациональным показателем:

\((\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b})\left(a^{\frac{2}{3}} - \sqrt[3]{ab} + b^{\frac{2}{3}}\right) =\)
\(= \left(a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}\right)\left(\left(a^{\frac{1}{3}}\right)^{2} - a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + \left(b^{\frac{1}{3}}\right)^{2}\right) =\)
\(= \left(a^{\frac{1}{3}}\right)^{3} + \left(b^{\frac{1}{3}}\right)^{3} = a + b\)

Наше исходное выражение примет следующий вид:

\(\dfrac{a^{\frac{2}{3}} - \left(ab\right)^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}} - (a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}})(a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}})}{a + b} = \dfrac{a^{\frac{2}{3}} - \left(ab\right)^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}} - \left(a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}\right)^{2}}{a + b}\)

Здесь \(\left(a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}\right)^{2}\) представляет собой формулу квадрата суммы и раскладывается следующим образом:

\(\left(a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}\right)^{2} = \left(a^{\frac{1}{3}}\right)^{2} + 2a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + \left(b^{\frac{1}{3}}\right)^{2} = a^{\frac{2}{3}} + 2(ab)^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}}\)

После всех преобразований наша исходная дробь примет вид:

\(\dfrac{a^{\frac{2}{3}} - (ab)^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}} - a^{\frac{2}{3}} - 2(ab)^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{2}{3}}}{a + b} = \dfrac{-3(ab)^{\frac{1}{3}}}{a + b} = \dfrac{-3\sqrt[3]{ab}}{a + b}\)

Ответ: \(\frac{-3\sqrt[3]{ab}}{a + b}\)

4)

\(\dfrac{\sqrt[3]{a^{2}} - \sqrt[3]{b^{2}}}{\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b}} - \dfrac{a - b}{a^{\frac{2}{3}} + \sqrt[3]{ab} + b^{\frac{2}{3}}}\)

Рассмотрим числитель первой дроби. Здесь выражение \(\sqrt[3]{a^{2}} - \sqrt[3]{b^{2}}\) представляет собой формулу разности квадратов и раскладывается на множители следующим образом:

\(\sqrt[3]{a^{2}} - \sqrt[3]{b^{2}} = \left(\sqrt[3]{a}\right)^{2} - \left(\sqrt[3]{b}\right)^{2} = \left(\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b}\right)\left(\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}\right)\)

Теперь рассмотрим числитель второй дроби. \((a - b)\) можно разложить по формуле разности кубов следующим образом:

\(a - b = \left(a^{\frac{1}{3}}\right)^{3} - \left(b^{\frac{1}{3}}\right)^{3} = \left(a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}}\right) \cdot \left(\left(a^{\frac{1}{3}}\right)^{2} + a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + \left(b^{\frac{1}{3}}\right)^{2}\right) =\)
\(= \left(a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}}\right) \cdot \left(a^{\frac{1}{3} \cdot 2}{+\left(ab\right)^{\frac{1}{3}} + b}^{\frac{1}{3} \cdot 2}\right) = \left(a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}}\right) \cdot \left(a^{\frac{2}{3}}{+\sqrt[3]{ab} + b}^{\frac{2}{3}}\right)\)

Подставим получившиеся у нас выражения в исходную дробь:

\(\dfrac{\left(\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b}\right)\left(\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}\right)}{\left(\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b}\right)} - \dfrac{\left(a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}}\right) \cdot \left(a^{\frac{2}{3}}{+\sqrt[3]{ab} + b}^{\frac{2}{3}}\right)}{\left(a^{\frac{2}{3}}{+\sqrt[3]{ab} + b}^{\frac{2}{3}}\right)} =\)
\(= \sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b} - a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}\)

Запишем корни в виде степеней с рациональным показателем и упростим данное выражение:

\(\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b} - a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}} = a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}} - a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}} = 2b^{\frac{1}{3}}\)

Ответ: \(2b^{\frac{1}{3}}\)