Страница 56 номер 130, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Алимова с ответами и решением

1)

\(a^{\frac{1}{9}}\sqrt[6]{a\sqrt[3]{a}}\)

Применив свойства арифметического корня, приведем наше выражение к следующему виду:

\(a^{\frac{1}{9}}\sqrt[6]{a\sqrt[3]{a}} = a^{\frac{1}{9}}\sqrt[6]{a} \cdot \sqrt[6]{\sqrt[3]{a}} = a^{\frac{1}{9}}\sqrt[6]{a} \cdot \sqrt[6 \cdot 3]{a} = a^{\frac{1}{9}}\sqrt[6]{a} \cdot \sqrt[18]{a}\)

Запишем корни в виде степеней с рациональным показателем:

\(a^{\frac{1}{9}}\sqrt[6]{a} \cdot \sqrt[18]{a} = a^{\frac{1}{9}} \cdot a^{\frac{1}{6}} \cdot a^{\frac{1}{18}} = a^{\frac{1}{9} + \frac{1}{6} + \frac{1}{18}} = a^{\frac{1}{3}}\)

Для сложения показателей степени необходимо привести их к общему знаменателю следующим образом:

\(\dfrac{1}{9} + \dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{18} = \dfrac{2}{18} + \dfrac{3}{18} + \dfrac{1}{18} = \dfrac{2 + 3 + 1}{18} = \dfrac{6}{18} = \dfrac{1}{3}\)

Ответ: \(a^{\frac{1}{3}}\)

2)

\(\left(\sqrt[3]{ab^{-2}} + \left(ab\right)^{-\frac{1}{6}}\right) \cdot \sqrt[6]{ab^{4}}\)

Раскроем скобки в исходном выражении:

\(\left(\sqrt[3]{ab^{-2}} + \left(ab\right)^{-\frac{1}{6}}\right) \cdot \sqrt[6]{ab^{4}} = \sqrt[3]{ab^{-2}} \cdot \sqrt[6]{ab^{4}} + \left(ab\right)^{-\frac{1}{6}} \cdot \sqrt[6]{ab^{4}}\)

Используя свойства арифметического корня, приведем наше выражение к следующему виду:

\(\sqrt[3]{ab^{-2}} \cdot \sqrt[6]{ab^{4}} + \left(ab\right)^{-\frac{1}{6}} \cdot \sqrt[6]{ab^{4}} = \sqrt[3]{ab^{-2}} \cdot \sqrt[3 \cdot 2]{ab^{4}} + \dfrac{1}{\left(ab\right)^{\frac{1}{6}}} \cdot \sqrt[6]{ab^{4}} =\)
\(= \sqrt[3]{ab^{-2}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{ab^{4}}} + \dfrac{\sqrt[6]{ab^{4}}}{\left(ab\right)^{\frac{1}{6}}}\)

Представим корни в виде степеней с рациональными показателями:

\(\sqrt[3]{ab^{-2}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{ab^{4}}} + \dfrac{\sqrt[6]{ab^{4}}}{\left(ab\right)^{\frac{1}{6}}} = \left(ab^{-2}\right)^{\frac{1}{3}} \cdot \left(\left(ab^{4}\right)^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{3}} + \dfrac{\left(ab^{4}\right)^{\frac{1}{6}}}{\left(ab\right)^{\frac{1}{6}}} =\)
\(= \left(a \cdot a^{\frac{1}{2}} \cdot b^{-2} \cdot b^{\frac{4}{2}}\right)^{\frac{1}{3}} + \left(\dfrac{ab^{4}}{ab}\right)^{\frac{1}{6}} =\)
\(= \left(a^{\frac{3}{2}} \cdot b^{0}\right)^{\frac{1}{3}} + \left(b^{3}\right)^{\frac{1}{6}} = a^{\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{3}} + b^{\frac{3}{6}} = a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}} = \sqrt{a} + \sqrt{b}\)

Ответ: \(\sqrt{a} + \sqrt{b}\)

3)

\(b^{\frac{1}{12}}\sqrt[3]{b\sqrt[4]{b}}\)

Для того, чтобы упростить данное выражение, нам необходимо записать корни в виде степеней с рациональными показателями и использовать их свойства

\(b^{\frac{1}{12}}\sqrt[3]{b\sqrt[4]{b}} = b^{\frac{1}{12}} \cdot \left(b\sqrt[4]{b}\right)^{\frac{1}{3}} = b^{\frac{1}{12}} \cdot \left(b \cdot b^{\frac{1}{4}}\right)^{\frac{1}{3}} = b^{\frac{1}{12}} \cdot \left.b\right.^{\frac{1}{3}}{\cdot \left.b\right.}^{\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3}} =\)
\(= b^{\frac{1}{12}} \cdot \left.b\right.^{\frac{1}{3}}{\cdot \left.b\right.}^{\frac{1}{12}} = b^{\frac{1}{12} + \frac{1}{12} + \frac{1}{3}} = \left.b\right.^{\frac{6}{12}} = \left.b\right.^{\frac{1}{2}} = \sqrt{b}\)

Ответ: \(\sqrt{b}\)

4)

\(\left(\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}\right)\left(a^{\frac{2}{3}} + b^{\frac{2}{3}} - \sqrt[3]{ab}\right)\)

Запишем корни в виде степеней с рациональными показателями:

\(\left(\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}\right)\left(a^{\frac{2}{3}} + b^{\frac{2}{3}} - \sqrt[3]{ab}\right) = \left(a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}\right)\left(a^{\frac{2}{3}} + b^{\frac{2}{3}} - \left(ab\right)^{\frac{1}{3}}\right)\)

Данное выражение представляет собой формулу суммы кубов:

\((a^{3} + b^{3}) = (a + b)(a^{2} - ab + b^{2})\)

Используя эту формулу и свойства степени с рациональным показателем, мы можем сделать дальнейшее упрощение выражения:

\(\left(a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}\right)\left(a^{\frac{2}{3}} + b^{\frac{2}{3}} - \left(ab\right)^{\frac{1}{3}}\right) = \left(a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}\right)\left(\left(a^{\frac{1}{3}}\right)^{2} - \left(a\right)^{\frac{1}{3}} \cdot \left(b\right)^{\frac{1}{3}} + \left(b^{\frac{1}{3}}\right)^{2}\right) =\)
\(= \left(a^{\frac{1}{3}}\right)^{3} + \left(b^{\frac{1}{3}}\right)^{3} = a + b\)

Ответ: \(a + b\)