Страница 102 номер 148, ГДЗ по математике за 7, 8 и 9 класс к учебнику Высоцкого 1 часть. Углубленный уровень
Если найти среднее значение атмосферного давления летом в Москве по данным таблицы 62 (задача 147, а), то полученное значение будет отличаться от среднего значения 746,32 мм рт. ст., которое получается, если данные не группировать (см. табл. 61).
а) Выразите отличие в процентах от величины среднего давления. Как вы думаете, является ли различие между этими двумя величинами существенным?
б) Чем объясняется расхождение между средними значениями, полученными без группировки и с группировкой данных?
Таблица 62. Группированные данные, шаг 4 мм рт. ст.
\[\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \text{№ п/п} & \begin{matrix} \text{Интервал,} \\ \text{мм рт. ст.} \end{matrix} & \begin{matrix} \text{Количество} \\ \text{попаданий} \\ \text{в интервал} \end{matrix} & \begin{matrix} \text{Частота} \\ \text{значения} \\ \text{в интервале} \end{matrix} \\ \hline 1 & \text{726—730} & 0 & 0 \\ \hline 2 & \text{730—734} & 1 & 0{,}011 \\ \hline 3 & \text{734—738} & 7 & 0{,}076 \\ \hline 4 & \text{738—742} & 18 & 0{,}196 \\ \hline 5 & \text{742—746} & 18 & 0{,}196 \\ \hline 6 & \text{746—750} & 19 & 0{,}207 \\ \hline 7 & \text{750—754} & 17 & 0{,}185 \\ \hline 8 & \text{754—758} & 11 & 0{,}120 \\ \hline 9 & \text{758—762} & 1 & 0{,}011 \\ \hline 10 & \text{762—766} & 0 & 0 \\ \hline \text{Всего} & & 92 & 1{,}002 \\ \hline \end{array}\]
Таблица 61. Атмосферное давление летом 2019 г. в Москве
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline 749{,}4 & 753{,}0 & 746{,}1 & 756{,}8 & 740{,}2 & 738{,}2 \\ \hline 747{,}3 & 752{,}8 & 745{,}8 & 751{,}7 & 743{,}3 & 742{,}4 \\ \hline 750{,}8 & 752{,}3 & 748{,}7 & 739{,}3 & 740{,}8 & 743{,}5 \\ \hline 755{,}2 & 751{,}2 & 749{,}6 & 730{,}5 & 735{,}4 & 745{,}6 \\ \hline 753{,}7 & 755{,}9 & 749{,}2 & 736{,}8 & 738{,}1 & 745{,}3 \\ \hline 754{,}1 & 749{,}4 & 749{,}1 & 741{,}3 & 738{,}4 & 743{,}9 \\ \hline 754{,}3 & 747{,}5 & 752{,}4 & 738{,}9 & 735{,}7 & 742{,}6 \\ \hline 753{,}8 & 748{,}4 & 753{,}7 & 739{,}8 & 735{,}4 & 740{,}1 \\ \hline \end{array}\] \[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline 740{,}3 & 746{,}0 & 740{,}3 & 750{,}3 & 751{,}6 & 756{,}7 \\ \hline 744{,}6 & 741{,}2 & 736{,}5 & 745{,}8 & 754{,}5 & 754{,}8 \\ \hline 749{,}1 & 742{,}2 & 740{,}1 & 746{,}5 & 754{,}3 & 752{,}2 \\ \hline 748{,}3 & 739{,}7 & 744{,}2 & 746{,}2 & 758{,}1 & 752{,}1 \\ \hline 744{,}7 & 736{,}9 & 742{,}3 & 747{,}1 & 753{,}0 & \\ \hline 745{,}1 & 742{,}9 & 735{,}4 & 746{,}8 & 757{,}0 & \\ \hline 748{,}3 & 741{,}0 & 741{,}8 & 743{,}4 & 755{,}8 & \\ \hline 748{,}9 & 738{,}9 & 746{,}6 & 750{,}1 & 751{,}9 & \\ \hline \end{array}\]
а) Среднее по сгруппированным данным находят, заменяя каждое значение серединой его интервала (в интервалах 726—730 и 762—766 значений нет); сумма произведений середин на количества попаданий: \[\begin{aligned} &732 \cdot 1 + 736 \cdot 7 + 740 \cdot 18 + 744 \cdot 18 + {} \\ &+ 748 \cdot 19 + 752 \cdot 17 + 756 \cdot 11 + 760 \cdot 1 = 68\,668. \end{aligned}\] \(68\,668 : 92 \approx 746{,}39\) (мм рт. ст.) — среднее по сгруппированным данным.
\(\frac{68\,668}{92} - 746{,}32 = \frac{68\,668 - 68\,661{,}44}{92} = \frac{6{,}56}{92} \approx 0{,}07\) (мм рт. ст.) — отличие от среднего несгруппированных данных.
\(\frac{6{,}56}{92 \cdot 746{,}32} \cdot 100\,\% \approx 0{,}01\,\%\) — отличие в процентах от величины среднего давления.
Различие несущественное: оно составляет около одной сотой процента и даже меньше точности, с которой записаны сами значения давления (0,1 мм рт. ст.), а за лето давление менялось от 730,5 до 758,1 мм рт. ст., то есть в пределах \(758{,}1 - 730{,}5 = 27{,}6\) (мм рт. ст.).
б) При нахождении среднего по сгруппированным данным каждое значение заменяют серединой его интервала, а настоящие значения от середин отличаются — до половины шага, то есть до 2 мм рт. ст. в ту или другую сторону, и эти отличия не уравновешивают друг друга полностью.
Ответ: а) примерно на 0,01 % (на 0,07 мм рт. ст.), различие несущественное; б) при нахождении среднего по сгруппированным данным каждое значение заменяют серединой его интервала, а настоящие значения от середин отличаются.
Если найти среднее значение атмосферного давления летом в Москве по данным таблицы 62 (задача 147, а), то полученное значение будет отличаться от среднего значения 746,32 мм рт. ст., которое получается, если данные не группировать (см. табл. 61).
а) Выразите отличие в процентах от величины среднего давления. Как вы думаете, является ли различие между этими двумя величинами существенным?
б) Чем объясняется расхождение между средними значениями, полученными без группировки и с группировкой данных?
Таблица 62. Группированные данные, шаг 4 мм рт. ст.
\[\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \text{№ п/п} & \begin{matrix} \text{Интервал,} \\ \text{мм рт. ст.} \end{matrix} & \begin{matrix} \text{Количество} \\ \text{попаданий} \\ \text{в интервал} \end{matrix} & \begin{matrix} \text{Частота} \\ \text{значения} \\ \text{в интервале} \end{matrix} \\ \hline 1 & \text{726—730} & 0 & 0 \\ \hline 2 & \text{730—734} & 1 & 0{,}011 \\ \hline 3 & \text{734—738} & 7 & 0{,}076 \\ \hline 4 & \text{738—742} & 18 & 0{,}196 \\ \hline 5 & \text{742—746} & 18 & 0{,}196 \\ \hline 6 & \text{746—750} & 19 & 0{,}207 \\ \hline 7 & \text{750—754} & 17 & 0{,}185 \\ \hline 8 & \text{754—758} & 11 & 0{,}120 \\ \hline 9 & \text{758—762} & 1 & 0{,}011 \\ \hline 10 & \text{762—766} & 0 & 0 \\ \hline \text{Всего} & & 92 & 1{,}002 \\ \hline \end{array}\]
Таблица 61. Атмосферное давление летом 2019 г. в Москве
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline 749{,}4 & 753{,}0 & 746{,}1 & 756{,}8 & 740{,}2 & 738{,}2 \\ \hline 747{,}3 & 752{,}8 & 745{,}8 & 751{,}7 & 743{,}3 & 742{,}4 \\ \hline 750{,}8 & 752{,}3 & 748{,}7 & 739{,}3 & 740{,}8 & 743{,}5 \\ \hline 755{,}2 & 751{,}2 & 749{,}6 & 730{,}5 & 735{,}4 & 745{,}6 \\ \hline 753{,}7 & 755{,}9 & 749{,}2 & 736{,}8 & 738{,}1 & 745{,}3 \\ \hline 754{,}1 & 749{,}4 & 749{,}1 & 741{,}3 & 738{,}4 & 743{,}9 \\ \hline 754{,}3 & 747{,}5 & 752{,}4 & 738{,}9 & 735{,}7 & 742{,}6 \\ \hline 753{,}8 & 748{,}4 & 753{,}7 & 739{,}8 & 735{,}4 & 740{,}1 \\ \hline \end{array}\] \[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline 740{,}3 & 746{,}0 & 740{,}3 & 750{,}3 & 751{,}6 & 756{,}7 \\ \hline 744{,}6 & 741{,}2 & 736{,}5 & 745{,}8 & 754{,}5 & 754{,}8 \\ \hline 749{,}1 & 742{,}2 & 740{,}1 & 746{,}5 & 754{,}3 & 752{,}2 \\ \hline 748{,}3 & 739{,}7 & 744{,}2 & 746{,}2 & 758{,}1 & 752{,}1 \\ \hline 744{,}7 & 736{,}9 & 742{,}3 & 747{,}1 & 753{,}0 & \\ \hline 745{,}1 & 742{,}9 & 735{,}4 & 746{,}8 & 757{,}0 & \\ \hline 748{,}3 & 741{,}0 & 741{,}8 & 743{,}4 & 755{,}8 & \\ \hline 748{,}9 & 738{,}9 & 746{,}6 & 750{,}1 & 751{,}9 & \\ \hline \end{array}\]
а) Среднее по сгруппированным данным находят, заменяя каждое значение серединой его интервала: значения из интервала 730—734 считают равными 732, из интервала 734—738 — равными 736 и т. д. (в интервалах 726—730 и 762—766 значений нет). Сумма произведений середин на количества попаданий: \[\begin{aligned} &732 \cdot 1 + 736 \cdot 7 + 740 \cdot 18 + 744 \cdot 18 + {} \\ &+ 748 \cdot 19 + 752 \cdot 17 + 756 \cdot 11 + 760 \cdot 1 = 68\,668. \end{aligned}\] Среднее по сгруппированным данным: \(68\,668 : 92 \approx 746{,}39\) (мм рт. ст.). Оно отличается от среднего несгруппированных данных на \(\frac{68\,668}{92} - 746{,}32 = \frac{68\,668 - 68\,661{,}44}{92} = \frac{6{,}56}{92} \approx 0{,}07\) (мм рт. ст.). В процентах от величины среднего давления это \(\frac{6{,}56}{92 \cdot 746{,}32} \cdot 100\,\% \approx 0{,}01\,\%\).
Различие несущественное: оно составляет около одной сотой процента и даже меньше точности, с которой записаны сами значения давления (0,1 мм рт. ст.), а за лето давление менялось от 730,5 до 758,1 мм рт. ст., то есть в пределах \(758{,}1 - 730{,}5 = 27{,}6\) (мм рт. ст.).
б) При нахождении среднего по сгруппированным данным каждое значение заменяют серединой его интервала, а настоящие значения от середин отличаются — до половины шага, то есть до 2 мм рт. ст. в ту или другую сторону. Эти отличия не уравновешивают друг друга полностью, поэтому среднее по сгруппированным данным немного отличается от среднего, найденного без группировки.
Ответ: а) примерно на 0,01 % (на 0,07 мм рт. ст.), различие несущественное; б) при нахождении среднего по сгруппированным данным каждое значение заменяют серединой его интервала, а настоящие значения от середин отличаются.
