Страница 102 номер 147, ГДЗ по математике за 7, 8 и 9 класс к учебнику Высоцкого 1 часть. Углубленный уровень
Рассмотрите таблицу 62, где сгруппированы наблюдения атмосферного давления летом 2019 г. в Москве. По данным этой таблицы:
а) с помощью теоремы (с. 86) оцените среднее значение атмосферного давления в Москве летом;
б) оцените медианное значение давления;
в) оцените количество летних дней, когда давление отличается от медианного не более чем на 10 мм рт. ст. в меньшую или в бо́льшую сторону.
Таблица 62. Группированные данные, шаг 4 мм рт. ст.
\[\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \text{№ п/п} & \begin{matrix} \text{Интервал,} \\ \text{мм рт. ст.} \end{matrix} & \begin{matrix} \text{Количество} \\ \text{попаданий} \\ \text{в интервал} \end{matrix} & \begin{matrix} \text{Частота} \\ \text{значения} \\ \text{в интервале} \end{matrix} \\ \hline 1 & \text{726—730} & 0 & 0 \\ \hline 2 & \text{730—734} & 1 & 0{,}011 \\ \hline 3 & \text{734—738} & 7 & 0{,}076 \\ \hline 4 & \text{738—742} & 18 & 0{,}196 \\ \hline 5 & \text{742—746} & 18 & 0{,}196 \\ \hline 6 & \text{746—750} & 19 & 0{,}207 \\ \hline 7 & \text{750—754} & 17 & 0{,}185 \\ \hline 8 & \text{754—758} & 11 & 0{,}120 \\ \hline 9 & \text{758—762} & 1 & 0{,}011 \\ \hline 10 & \text{762—766} & 0 & 0 \\ \hline \text{Всего} & & 92 & 1{,}002 \\ \hline \end{array}\]
Точных значений давления в таблице нет — только количества попаданий в интервалы, поэтому каждое значение заменяем серединой его интервала. Такая замена приближённая, поэтому и найденные характеристики — оценки.
а) Частоты берём точными, \(\frac{N_1}{92}, \ldots, \frac{N_k}{92}\): в таблице они округлены до тысячных и в сумме дают \(1{,}002\), а не 1. Тогда по теореме о среднем значении \(\overline{x} = \frac{x_1 \cdot N_1 + \ldots + x_k \cdot N_k}{92}\), где \(x_1, \ldots, x_k\) — середины интервалов, \(N_1, \ldots, N_k\) — количества попаданий; произведения середин на количества — в таблице: \[\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \text{Интервал} & \text{Середина} & \text{Количество} & \text{Произведение} \\ \hline \text{726—730} & 728 & 0 & 0 \\ \hline \text{730—734} & 732 & 1 & 732 \\ \hline \text{734—738} & 736 & 7 & 5152 \\ \hline \text{738—742} & 740 & 18 & 13\,320 \\ \hline \text{742—746} & 744 & 18 & 13\,392 \\ \hline \text{746—750} & 748 & 19 & 14\,212 \\ \hline \text{750—754} & 752 & 17 & 12\,784 \\ \hline \text{754—758} & 756 & 11 & 8316 \\ \hline \text{758—762} & 760 & 1 & 760 \\ \hline \text{762—766} & 764 & 0 & 0 \\ \hline \text{Всего} & & 92 & 68\,668 \\ \hline \end{array}\] \(\frac{68\,668}{92} \approx 746{,}39\) (мм рт. ст.) — примерно такое среднее значение давления летом.
б) Значений 92 — чётное число, поэтому медиана — среднее арифметическое 46-го и 47-го значений упорядоченного набора.
\(0 + 1 + 7 + 18 + 18 = 44\) — количество значений левее интервала 746—750, в нём самом — 19; значит, 46-е и 47-е значения — второе и третье из 19 значений этого интервала.
Считая значения внутри интервала расположенными примерно равномерно, получаем, что медиана близка к его левому концу: она примерно равна 746 мм рт. ст.
в) Давление отличается от медианы не более чем на 10 мм рт. ст., если оно от \(746 - 10 = 736\) до \(746 + 10 = 756\) мм рт. ст.
\(18 + 18 + 19 + 17 = 72\) (дня) — в интервалах 738—742, 742—746, 746—750 и 750—754, которые лежат в этих пределах целиком.
От интервалов 734—738 и 754—758 в эти пределы входит по половине (от 736 до 738 и от 754 до 756); считая значения внутри этих интервалов расположенными примерно равномерно, берём половины количеств: \(7 : 2 = 3{,}5\) и \(11 : 2 = 5{,}5\).
Всего примерно \(72 + 3{,}5 + 5{,}5 = 81\) (день).
Ответ: а) \(\approx 746{,}39\) мм рт. ст.; б) \(\approx 746\) мм рт. ст.; в) примерно 81 день.
Рассмотрите таблицу 62, где сгруппированы наблюдения атмосферного давления летом 2019 г. в Москве. По данным этой таблицы:
а) с помощью теоремы (с. 86) оцените среднее значение атмосферного давления в Москве летом;
б) оцените медианное значение давления;
в) оцените количество летних дней, когда давление отличается от медианного не более чем на 10 мм рт. ст. в меньшую или в бо́льшую сторону.
Таблица 62. Группированные данные, шаг 4 мм рт. ст.
\[\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \text{№ п/п} & \begin{matrix} \text{Интервал,} \\ \text{мм рт. ст.} \end{matrix} & \begin{matrix} \text{Количество} \\ \text{попаданий} \\ \text{в интервал} \end{matrix} & \begin{matrix} \text{Частота} \\ \text{значения} \\ \text{в интервале} \end{matrix} \\ \hline 1 & \text{726—730} & 0 & 0 \\ \hline 2 & \text{730—734} & 1 & 0{,}011 \\ \hline 3 & \text{734—738} & 7 & 0{,}076 \\ \hline 4 & \text{738—742} & 18 & 0{,}196 \\ \hline 5 & \text{742—746} & 18 & 0{,}196 \\ \hline 6 & \text{746—750} & 19 & 0{,}207 \\ \hline 7 & \text{750—754} & 17 & 0{,}185 \\ \hline 8 & \text{754—758} & 11 & 0{,}120 \\ \hline 9 & \text{758—762} & 1 & 0{,}011 \\ \hline 10 & \text{762—766} & 0 & 0 \\ \hline \text{Всего} & & 92 & 1{,}002 \\ \hline \end{array}\]
Точных значений давления в таблице нет — только количества попаданий в интервалы. Поэтому каждое значение заменяем серединой его интервала: значения из интервала 730—734 считаем равными 732, из интервала 734—738 — равными 736 и т. д. Такая замена приближённая, поэтому и найденные характеристики — оценки.
а) По теореме о среднем значении среднее равно сумме произведений значений на их частоты: \(\overline{x} = x_1 \cdot \frac{N_1}{N} + \ldots + x_k \cdot \frac{N_k}{N}\), где \(x_1, \ldots, x_k\) — значения (здесь середины интервалов), \(N_1, \ldots, N_k\) — сколько раз они встречаются (количества попаданий), \(N = 92\). Частоты берём точными, \(\frac{N_1}{92}, \ldots, \frac{N_k}{92}\): в таблице они округлены до тысячных и в сумме дают \(1{,}002\), а не 1. Тогда \(\overline{x} = \frac{x_1 \cdot N_1 + \ldots + x_k \cdot N_k}{92}\); произведения середин на количества — в таблице: \[\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \text{Интервал} & \text{Середина} & \text{Количество} & \text{Произведение} \\ \hline \text{726—730} & 728 & 0 & 0 \\ \hline \text{730—734} & 732 & 1 & 732 \\ \hline \text{734—738} & 736 & 7 & 5152 \\ \hline \text{738—742} & 740 & 18 & 13\,320 \\ \hline \text{742—746} & 744 & 18 & 13\,392 \\ \hline \text{746—750} & 748 & 19 & 14\,212 \\ \hline \text{750—754} & 752 & 17 & 12\,784 \\ \hline \text{754—758} & 756 & 11 & 8316 \\ \hline \text{758—762} & 760 & 1 & 760 \\ \hline \text{762—766} & 764 & 0 & 0 \\ \hline \text{Всего} & & 92 & 68\,668 \\ \hline \end{array}\] Значит, среднее значение давления летом примерно равно \(\frac{68\,668}{92} \approx 746{,}39\) мм рт. ст.
б) Значений 92 — чётное число, поэтому медиана — среднее арифметическое 46-го и 47-го значений упорядоченного набора. Левее интервала 746—750 лежат \(0 + 1 + 7 + 18 + 18 = 44\) значения, в нём самом — 19. Значит, 46-е и 47-е значения — второе и третье из 19 значений этого интервала. Считая значения внутри интервала расположенными примерно равномерно, получаем, что медиана близка к его левому концу: она примерно равна 746 мм рт. ст.
в) Давление отличается от медианы не более чем на 10 мм рт. ст., если оно от \(746 - 10 = 736\) до \(746 + 10 = 756\) мм рт. ст. Интервалы 738—742, 742—746, 746—750 и 750—754 лежат в этих пределах целиком: \(18 + 18 + 19 + 17 = 72\) (дня). От интервала 734—738 в эти пределы входит половина — от 736 до 738, от интервала 754—758 — тоже половина, от 754 до 756. Считая значения внутри этих интервалов расположенными примерно равномерно, берём половины количеств: \(7 : 2 = 3{,}5\) и \(11 : 2 = 5{,}5\). Всего примерно \(72 + 3{,}5 + 5{,}5 = 81\) (день).
Ответ: а) \(\approx 746{,}39\) мм рт. ст.; б) \(\approx 746\) мм рт. ст.; в) примерно 81 день.
