Страница 102 номер 149, ГДЗ по математике за 7, 8 и 9 класс к учебнику Высоцкого 1 часть. Углубленный уровень
Массив некоторых числовых данных сгруппировали шагом 10. По этим сгруппированным данным нашли среднее значение. Оно получилось равным 224,5. Можно ли утверждать, что настоящее среднее значение: а) находится между 224 и 225; б) больше, чем 220; в) меньше, чем 234,5? В какой промежуток истинное среднее значение попадает наверняка?
Среднее по сгруппированным данным находят, заменяя каждое значение серединой его интервала, а от середины своего интервала длиной 10 значение отличается не больше чем на половину шага, то есть на 5. Если каждое из \(N\) значений изменить не больше чем на 5, то их сумма изменится не больше чем на \(5N\), а среднее — не больше чем на \(\frac{5N}{N} = 5\). Значит, настоящее среднее \(\overline{x}\) отличается от 224,5 не больше чем на 5: \[\begin{aligned} 224{,}5 - 5 &\leqslant \overline{x} \leqslant 224{,}5 + 5; \\ 219{,}5 &\leqslant \overline{x} \leqslant 229{,}5. \end{aligned}\] Настоящее среднее может оказаться и у края этого промежутка: если каждое значение лежит на 0,1 правее левого конца своего интервала, то оно на \(5 - 0{,}1 = 4{,}9\) меньше середины интервала и настоящее среднее равно \(224{,}5 - 4{,}9 = 219{,}6\).
а) Нельзя: в этом примере настоящее среднее 219,6 не лежит между 224 и 225.
б) Нельзя: в том же примере настоящее среднее 219,6 меньше 220.
в) Можно: настоящее среднее не больше 229,5, а \(229{,}5 < 234{,}5\).
Наверняка настоящее среднее попадает в промежуток от 219,5 до 229,5.
Ответ: а) нельзя; б) нельзя; в) можно; наверняка истинное среднее значение попадает в промежуток от 219,5 до 229,5.
Массив некоторых числовых данных сгруппировали шагом 10. По этим сгруппированным данным нашли среднее значение. Оно получилось равным 224,5. Можно ли утверждать, что настоящее среднее значение: а) находится между 224 и 225; б) больше, чем 220; в) меньше, чем 234,5? В какой промежуток истинное среднее значение попадает наверняка?
Среднее по сгруппированным данным находят, заменяя каждое значение серединой его интервала. Значение лежит в своём интервале длиной 10, поэтому от середины интервала оно отличается не больше чем на половину шага, то есть на 5. Если каждое из \(N\) значений изменить не больше чем на 5, то их сумма изменится не больше чем на \(5N\), а среднее — не больше чем на \(\frac{5N}{N} = 5\). Значит, настоящее среднее \(\overline{x}\) отличается от 224,5 не больше чем на 5: \[\begin{aligned} 224{,}5 - 5 &\leqslant \overline{x} \leqslant 224{,}5 + 5; \\ 219{,}5 &\leqslant \overline{x} \leqslant 229{,}5. \end{aligned}\] Настоящее среднее может оказаться и у края этого промежутка. Например, если каждое значение лежит на 0,1 правее левого конца своего интервала, то оно на \(5 - 0{,}1 = 4{,}9\) меньше середины интервала и настоящее среднее равно \(224{,}5 - 4{,}9 = 219{,}6\).
а) Нельзя: в этом примере настоящее среднее 219,6 не лежит между 224 и 225.
б) Нельзя: в том же примере настоящее среднее 219,6 меньше 220.
в) Можно: настоящее среднее не больше 229,5, а \(229{,}5 < 234{,}5\).
Наверняка настоящее среднее попадает в промежуток от 219,5 до 229,5.
Ответ: а) нельзя; б) нельзя; в) можно; наверняка истинное среднее значение попадает в промежуток от 219,5 до 229,5.
