Страница 123 номер 10.45, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
В тетраэдре \(DABC\) ребро \(BD\) перпендикулярно плоскости \(ABC\). Известно, что \(AB = BC = CA = BD\). Точка \(M\) — середина ребра \(BC\). Плоскость, проходящая через точку \(M\) и перпендикулярная прямой \(AD\), пересекает ребро \(AD\) в точке \(K\). Найдите отношение \(AK : KD\).
Дано:
\(DABC\) — тетраэдр
\(BD \perp ABC\)
\(AB = BC = CA = BD\)
\(M\) — середина ребра \(BC\)
плоскость, проходящая через точку \(M\) перпендикулярно прямой \(AD\), пересекает ребро \(AD\) в точке \(K\)
Найти: \(AK : KD\).
Решение:
Пусть \(AB = BC = CA = BD = a\). Проведём в плоскости \(ABC\) отрезок \(MP\) перпендикулярно прямой \(AB\) (точка \(P\) лежит на прямой \(AB\)), а в плоскости \(ABD\) через точку \(P\) — прямую, перпендикулярную прямой \(AD\); точку её пересечения с прямой \(AD\) обозначим \(K\).
Поскольку \(BD \perp ABC\), а прямая \(MP\) лежит в плоскости \(ABC\), то по определению прямой, перпендикулярной плоскости, \(BD \perp MP\). Прямая \(MP\) перпендикулярна двум пересекающимся прямым \(AB\) и \(BD\) плоскости \(ABD\), поэтому по признаку перпендикулярности прямой и плоскости \(MP \perp ABD\), а так как \(AD \subset ABD\), то \(MP \perp AD\). По построению \(PK \perp AD\). Прямая \(AD\) перпендикулярна двум пересекающимся прямым \(MP\) и \(PK\) плоскости \(MPK\), следовательно, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости \(AD \perp MPK\). Другой плоскости, проходящей через точку \(M\) перпендикулярно прямой \(AD\), нет: две различные плоскости, перпендикулярные одной прямой, параллельны, а у этих была бы общая точка \(M\). Значит, \(MPK\) — плоскость из условия, и \(K\) — точка её пересечения с прямой \(AD\).
Угол \(MBA\) равен \(60^\circ\) (треугольник \(ABC\) равносторонний), поэтому точка \(P\) лежит на луче \(BA\), и в прямоугольном треугольнике \(BPM\) (\(BM = \frac{a}{2}\)) катет \(BP = BM \cos 60^\circ = \frac{a}{4}\). Значит, точка \(P\) лежит на ребре \(AB\) и \(AP = a - \frac{a}{4} = \frac{3a}{4}\).
Прямая \(BD\) перпендикулярна плоскости \(ABC\), поэтому \(BD \perp AB\), и треугольник \(ABD\) прямоугольный и равнобедренный (\(AB = BD = a\)): \(\angle BAD = 45^\circ\) и \(AD = a\sqrt{2}\). Угол \(PAD\) острый, поэтому точка \(K\) лежит на луче \(AD\), и из прямоугольного треугольника \(AKP\) (\(\angle AKP = 90^\circ\)) \[AK = AP \cos 45^\circ = \frac{3a}{4} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{3a\sqrt{2}}{8}.\]
Так как \(AK < AD\), точка \(K\) лежит на ребре \(AD\) и \(KD = a\sqrt{2} - \frac{3a\sqrt{2}}{8} = \frac{5a\sqrt{2}}{8}\). Следовательно, \(AK : KD = 3 : 5\).
Ответ: \(AK : KD = 3 : 5\).
В тетраэдре \(DABC\) ребро \(BD\) перпендикулярно плоскости \(ABC\). Известно, что \(AB = BC = CA = BD\). Точка \(M\) — середина ребра \(BC\). Плоскость, проходящая через точку \(M\) и перпендикулярная прямой \(AD\), пересекает ребро \(AD\) в точке \(K\). Найдите отношение \(AK : KD\).
Дано:
\(DABC\) — тетраэдр
\(BD \perp ABC\)
\(AB = BC = CA = BD\)
\(M\) — середина ребра \(BC\)
плоскость, проходящая через точку \(M\) перпендикулярно прямой \(AD\), пересекает ребро \(AD\) в точке \(K\)
Найти: \(AK : KD\).
Решение:
Пусть \(AB = BC = CA = BD = a\). Проведём в плоскости \(ABC\) отрезок \(MP\) перпендикулярно прямой \(AB\) (точка \(P\) лежит на прямой \(AB\)), а в плоскости \(ABD\) через точку \(P\) — прямую, перпендикулярную прямой \(AD\); точку её пересечения с прямой \(AD\) обозначим \(K\). Докажем, что плоскость \(MPK\) перпендикулярна прямой \(AD\), — тогда \(K\) и есть точка из условия.
Поскольку \(BD \perp ABC\), а прямая \(MP\) лежит в плоскости \(ABC\), то по определению прямой, перпендикулярной плоскости, \(BD \perp MP\). Прямая \(MP\) перпендикулярна двум пересекающимся прямым \(AB\) и \(BD\) плоскости \(ABD\), поэтому по признаку перпендикулярности прямой и плоскости \(MP \perp ABD\), а так как \(AD \subset ABD\), то \(MP \perp AD\). По построению \(PK \perp AD\). Прямая \(AD\) перпендикулярна двум пересекающимся прямым \(MP\) и \(PK\) плоскости \(MPK\), следовательно, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости \(AD \perp MPK\). Другой плоскости, проходящей через точку \(M\) перпендикулярно прямой \(AD\), нет: две различные плоскости, перпендикулярные одной прямой, параллельны, а у этих была бы общая точка \(M\). Значит, \(MPK\) — плоскость из условия, и \(K\) — точка её пересечения с прямой \(AD\).
Угол \(MBA\) равен \(60^\circ\) (треугольник \(ABC\) равносторонний), поэтому точка \(P\) лежит на луче \(BA\), и в прямоугольном треугольнике \(BPM\) (\(BM = \frac{a}{2}\)) катет \(BP = BM \cos 60^\circ = \frac{a}{4}\). Значит, точка \(P\) лежит на ребре \(AB\) и \(AP = a - \frac{a}{4} = \frac{3a}{4}\).
Прямая \(BD\) перпендикулярна плоскости \(ABC\), поэтому \(BD \perp AB\), и треугольник \(ABD\) прямоугольный и равнобедренный (\(AB = BD = a\)): \(\angle BAD = 45^\circ\) и \(AD = a\sqrt{2}\). Угол \(PAD\) острый, поэтому точка \(K\) лежит на луче \(AD\), и из прямоугольного треугольника \(AKP\) (\(\angle AKP = 90^\circ\)) \[AK = AP \cos 45^\circ = \frac{3a}{4} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{3a\sqrt{2}}{8}.\]
Так как \(AK < AD\), точка \(K\) лежит на ребре \(AD\) и \(KD = a\sqrt{2} - \frac{3a\sqrt{2}}{8} = \frac{5a\sqrt{2}}{8}\). Следовательно, \(AK : KD = 3 : 5\).
Ответ: \(AK : KD = 3 : 5\).
