Страница 123 номер 10.46, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Точка \(M\) — середина ребра \(AB\) куба \(ABCDA_1B_1C_1D_1\), ребро которого равно \(a\). Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через точку \(M\) и перпендикулярной прямой \(B_1D\). Найдите площадь этого сечения.
Дано:
\(ABCDA_1B_1C_1D_1\) — куб
\(AB = a\)
\(M\) — середина ребра \(AB\)
сечение проходит через точку \(M\) перпендикулярно прямой \(B_1D\)
Найти: площадь сечения.
Решение:
Ребро \(BB_1\) перпендикулярно пересекающимся прямым \(BA\) и \(BC\) (грани куба — квадраты), поэтому по признаку перпендикулярности прямой и плоскости \(BB_1 \perp ABC\) и \(BB_1 \perp AC\). Кроме того, \(BD \perp AC\) как диагонали квадрата \(ABCD\). Прямая \(AC\) перпендикулярна двум пересекающимся прямым \(BD\) и \(BB_1\) плоскости \(BB_1D\), следовательно, \(AC \perp BB_1D\), а так как \(B_1D \subset BB_1D\), то \(AC \perp B_1D\). Так же прямая \(AD_1\) перпендикулярна двум пересекающимся прямым \(A_1D\) и \(A_1B_1\) плоскости \(A_1B_1D\), следовательно, \(AD_1 \perp A_1B_1D\) и \(AD_1 \perp B_1D\).
Плоскости противолежащих граней куба параллельны по признаку параллельности двух плоскостей: например, пересекающиеся прямые \(AB\) и \(AD\) плоскости \(ABC\) соответственно параллельны прямым \(A_1B_1\) и \(A_1D_1\) плоскости \(A_1B_1C_1\). Рёбра \(AA_1\) и \(CC_1\) параллельны ребру \(BB_1\), а две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны между собой; поэтому \(AA_1 \parallel CC_1\), точки \(A\), \(C\), \(C_1\), \(A_1\) лежат в одной плоскости, и она пересекает параллельные плоскости \(ABC\) и \(A_1B_1C_1\) по параллельным прямым \(AC\) и \(A_1C_1\). Значит, у четырёхугольника \(ACC_1A_1\) противолежащие стороны попарно параллельны — это параллелограмм. Так же \(AB \parallel D_1C_1\) (обе прямые параллельны \(DC\)), точки \(A\), \(B\), \(C_1\), \(D_1\) лежат в одной плоскости, и она пересекает параллельные плоскости \(AA_1D\) и \(BB_1C\) по параллельным прямым \(AD_1\) и \(BC_1\).
Пусть \(N\), \(P\), \(Q\), \(R\), \(S\) — середины рёбер \(BC\), \(CC_1\), \(C_1D_1\), \(D_1A_1\), \(A_1A\). Отрезки \(MN\), \(NP\), \(QR\), \(RS\) — средние линии треугольников \(ABC\), \(BCC_1\), \(A_1C_1D_1\), \(AA_1D_1\), поэтому \(MN \parallel AC\), \(NP \parallel BC_1\), \(QR \parallel A_1C_1\), \(RS \parallel AD_1\). Отрезок \(PS\) соединяет середины противолежащих сторон \(CC_1\) и \(AA_1\) параллелограмма \(ACC_1A_1\), поэтому \(PS \parallel AC\).
Поскольку \(MN \parallel AC\), то угол между прямыми \(B_1D\) и \(MN\) равен углу между прямыми \(B_1D\) и \(AC\), то есть \(B_1D \perp MN\). Поскольку \(NP \parallel BC_1\) и \(BC_1 \parallel AD_1\), то \(NP \parallel AD_1\) и так же \(B_1D \perp NP\). Прямая \(B_1D\) перпендикулярна двум пересекающимся прямым \(MN\) и \(NP\) плоскости \(MNP\), следовательно, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости \(B_1D \perp MNP\).
Прямая \(PS\) параллельна прямой \(MN\) (обе параллельны \(AC\)) и проходит через точку \(P\) плоскости \(MNP\), поэтому лежит в этой плоскости, и \(S \in MNP\). Прямая \(RS\) параллельна прямой \(NP\) (обе параллельны \(AD_1\)) и проходит через точку \(S\) этой плоскости, поэтому \(R \in MNP\). Прямая \(QR\) параллельна прямой \(MN\) (обе параллельны \(AC\), так как \(A_1C_1 \parallel AC\)) и проходит через точку \(R\), поэтому \(Q \in MNP\). Значит, сечение куба плоскостью \(MNP\) — шестиугольник \(MNPQRS\), его стороны лежат на шести гранях куба.
Каждая сторона шестиугольника — средняя линия треугольника, две стороны которого — рёбра куба, а третья — диагональ грани, равная \(a\sqrt{2}\), поэтому все стороны шестиугольника равны \(\frac{a\sqrt{2}}{2}\). Так же, как ребро \(BB_1\), ребро \(CC_1\) перпендикулярно плоскости \(ABC\), поэтому \(CP \perp MC\), и из прямоугольных треугольников \(MBC\) и \(MCP\) \[\begin{aligned} &MP^2 = MC^2 + CP^2 = MB^2 + BC^2 + CP^2 = {} \\ &= \frac{a^2}{4} + a^2 + \frac{a^2}{4} = \frac{3a^2}{2}. \end{aligned}\]
По теореме косинусов для треугольника \(MNP\) \[\begin{aligned} &\cos\angle MNP = \frac{MN^2 + NP^2 - MP^2}{2 \cdot MN \cdot NP} = {} \\ &= \frac{\frac{a^2}{2} + \frac{a^2}{2} - \frac{3a^2}{2}}{2 \cdot \frac{a^2}{2}} = -\frac{1}{2}. \end{aligned}\]
Значит, \(\angle MNP = 120^\circ\). Из таких же прямоугольных треугольников находим, что каждая из диагоналей \(NQ\), \(PR\), \(QS\), \(RM\), \(SN\) тоже равна \(MP = \frac{a\sqrt{6}}{2}\), поэтому треугольники \(MNP\), \(NPQ\), \(PQR\), \(QRS\), \(RSM\), \(SMN\) равны по трём сторонам и все углы шестиугольника равны \(120^\circ\). Значит, \(MNPQRS\) — правильный шестиугольник со стороной \(\frac{a\sqrt{2}}{2}\). Он составлен из шести равносторонних треугольников с той же стороной, поэтому его площадь равна \[6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot \left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2 = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{a^2}{2} = \frac{3\sqrt{3}a^2}{4}.\]
Ответ: сечение — правильный шестиугольник \(MNPQRS\) с вершинами в серединах рёбер \(AB\), \(BC\), \(CC_1\), \(C_1D_1\), \(D_1A_1\), \(A_1A\); его площадь равна \(\frac{3\sqrt{3}a^2}{4}\).
Точка \(M\) — середина ребра \(AB\) куба \(ABCDA_1B_1C_1D_1\), ребро которого равно \(a\). Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через точку \(M\) и перпендикулярной прямой \(B_1D\). Найдите площадь этого сечения.
Дано:
\(ABCDA_1B_1C_1D_1\) — куб
\(AB = a\)
\(M\) — середина ребра \(AB\)
сечение проходит через точку \(M\) перпендикулярно прямой \(B_1D\)
Найти: площадь сечения.
Решение:
Докажем, что прямая \(B_1D\) перпендикулярна прямым \(AC\) и \(AD_1\). Ребро \(BB_1\) перпендикулярно пересекающимся прямым \(BA\) и \(BC\) (грани куба — квадраты), поэтому по признаку перпендикулярности прямой и плоскости \(BB_1 \perp ABC\) и \(BB_1 \perp AC\). Кроме того, \(BD \perp AC\) как диагонали квадрата \(ABCD\). Прямая \(AC\) перпендикулярна двум пересекающимся прямым \(BD\) и \(BB_1\) плоскости \(BB_1D\), следовательно, \(AC \perp BB_1D\), а так как \(B_1D \subset BB_1D\), то \(AC \perp B_1D\). Так же ребро \(A_1B_1\) перпендикулярно пересекающимся прямым \(A_1A\) и \(A_1D_1\), поэтому \(A_1B_1 \perp AA_1D_1\) и \(A_1B_1 \perp AD_1\); кроме того, \(A_1D \perp AD_1\) как диагонали квадрата \(AA_1D_1D\). Прямая \(AD_1\) перпендикулярна двум пересекающимся прямым \(A_1D\) и \(A_1B_1\) плоскости \(A_1B_1D\), следовательно, \(AD_1 \perp A_1B_1D\) и \(AD_1 \perp B_1D\).
Плоскости противолежащих граней куба параллельны по признаку параллельности двух плоскостей: например, пересекающиеся прямые \(AB\) и \(AD\) плоскости \(ABC\) соответственно параллельны прямым \(A_1B_1\) и \(A_1D_1\) плоскости \(A_1B_1C_1\). Рёбра \(AA_1\) и \(CC_1\) параллельны ребру \(BB_1\), а две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны между собой; поэтому \(AA_1 \parallel CC_1\), точки \(A\), \(C\), \(C_1\), \(A_1\) лежат в одной плоскости, и она пересекает параллельные плоскости \(ABC\) и \(A_1B_1C_1\) по параллельным прямым \(AC\) и \(A_1C_1\). Значит, у четырёхугольника \(ACC_1A_1\) противолежащие стороны попарно параллельны — это параллелограмм. Так же \(AB \parallel D_1C_1\) (обе прямые параллельны \(DC\)), точки \(A\), \(B\), \(C_1\), \(D_1\) лежат в одной плоскости, и она пересекает параллельные плоскости \(AA_1D\) и \(BB_1C\) по параллельным прямым \(AD_1\) и \(BC_1\).
Пусть \(N\), \(P\), \(Q\), \(R\), \(S\) — середины рёбер \(BC\), \(CC_1\), \(C_1D_1\), \(D_1A_1\), \(A_1A\). Отрезки \(MN\), \(NP\), \(QR\), \(RS\) — средние линии треугольников \(ABC\), \(BCC_1\), \(A_1C_1D_1\), \(AA_1D_1\), поэтому \(MN \parallel AC\), \(NP \parallel BC_1\), \(QR \parallel A_1C_1\), \(RS \parallel AD_1\). Отрезок \(PS\) соединяет середины противолежащих сторон \(CC_1\) и \(AA_1\) параллелограмма \(ACC_1A_1\), поэтому \(PS \parallel AC\). Докажем, что шестиугольник \(MNPQRS\) — искомое сечение.
Поскольку \(MN \parallel AC\), то угол между прямыми \(B_1D\) и \(MN\) равен углу между прямыми \(B_1D\) и \(AC\), то есть \(B_1D \perp MN\). Поскольку \(NP \parallel BC_1\) и \(BC_1 \parallel AD_1\), то \(NP \parallel AD_1\) и так же \(B_1D \perp NP\). Прямая \(B_1D\) перпендикулярна двум пересекающимся прямым \(MN\) и \(NP\) плоскости \(MNP\), следовательно, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости \(B_1D \perp MNP\).
Остальные вершины шестиугольника лежат в плоскости \(MNP\). Прямая \(PS\) параллельна прямой \(MN\) (обе параллельны \(AC\)) и проходит через точку \(P\) плоскости \(MNP\), поэтому лежит в этой плоскости, и \(S \in MNP\). Прямая \(RS\) параллельна прямой \(NP\) (обе параллельны \(AD_1\)) и проходит через точку \(S\) этой плоскости, поэтому \(R \in MNP\). Прямая \(QR\) параллельна прямой \(MN\) (обе параллельны \(AC\), так как \(A_1C_1 \parallel AC\)) и проходит через точку \(R\), поэтому \(Q \in MNP\). Значит, сечение куба плоскостью \(MNP\) — шестиугольник \(MNPQRS\), его стороны лежат на шести гранях куба.
Каждая сторона шестиугольника — средняя линия треугольника, две стороны которого — рёбра куба, а третья — диагональ грани, равная \(a\sqrt{2}\), поэтому все стороны шестиугольника равны \(\frac{a\sqrt{2}}{2}\). Так же, как ребро \(BB_1\), ребро \(CC_1\) перпендикулярно плоскости \(ABC\), поэтому \(CP \perp MC\), и из прямоугольных треугольников \(MBC\) и \(MCP\) \[\begin{aligned} &MP^2 = MC^2 + CP^2 = MB^2 + BC^2 + CP^2 = {} \\ &= \frac{a^2}{4} + a^2 + \frac{a^2}{4} = \frac{3a^2}{2}. \end{aligned}\]
По теореме косинусов для треугольника \(MNP\) \[\begin{aligned} &\cos\angle MNP = \frac{MN^2 + NP^2 - MP^2}{2 \cdot MN \cdot NP} = {} \\ &= \frac{\frac{a^2}{2} + \frac{a^2}{2} - \frac{3a^2}{2}}{2 \cdot \frac{a^2}{2}} = -\frac{1}{2}. \end{aligned}\]
Значит, \(\angle MNP = 120^\circ\). Из таких же прямоугольных треугольников находим, что каждая из диагоналей \(NQ\), \(PR\), \(QS\), \(RM\), \(SN\) тоже равна \(MP = \frac{a\sqrt{6}}{2}\), поэтому треугольники \(MNP\), \(NPQ\), \(PQR\), \(QRS\), \(RSM\), \(SMN\) равны по трём сторонам и все углы шестиугольника равны \(120^\circ\). Значит, \(MNPQRS\) — правильный шестиугольник со стороной \(\frac{a\sqrt{2}}{2}\). Он составлен из шести равносторонних треугольников с той же стороной, поэтому его площадь равна \[6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot \left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2 = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{a^2}{2} = \frac{3\sqrt{3}a^2}{4}.\]
Ответ: сечение — правильный шестиугольник \(MNPQRS\) с вершинами в серединах рёбер \(AB\), \(BC\), \(CC_1\), \(C_1D_1\), \(D_1A_1\), \(A_1A\); его площадь равна \(\frac{3\sqrt{3}a^2}{4}\).
