Страницы 123-124 номер 10.47, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Основанием призмы \(ABCA_1B_1C_1\) является равнобедренный прямоугольный треугольник \(ABC\) (\(\angle ACB = 90^\circ\)), катет \(AC\) которого равен \(a\). Грани \(AA_1C_1C\) и \(CC_1B_1B\) являются квадратами. Точка \(M\) — середина ребра \(BC\). Постройте сечение призмы плоскостью, проходящей через точку \(M\) и перпендикулярной прямой \(A_1B\). Найдите площадь этого сечения.
Дано:
\(ABCA_1B_1C_1\) — призма
\(\angle ACB = 90^\circ\)
\(AC = BC = a\)
\(AA_1C_1C\) и \(CC_1B_1B\) — квадраты
\(M\) — середина ребра \(BC\)
сечение проходит через точку \(M\) перпендикулярно прямой \(A_1B\)
Найти: площадь сечения.
Решение:
Ребро \(CC_1\) перпендикулярно пересекающимся прямым \(CA\) и \(CB\) (грани \(AA_1C_1C\) и \(CC_1B_1B\) — квадраты), поэтому по признаку перпендикулярности прямой и плоскости \(CC_1 \perp ABC\). Грань \(CC_1B_1B\) — квадрат, поэтому \(BB_1 \parallel CC_1\) и \(BB_1 = BC = a\); значит, \(BB_1 \perp ABC\): если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна плоскости, то и другая прямая перпендикулярна этой плоскости.
Диагонали квадрата \(CC_1B_1B\) перпендикулярны: \(CB_1 \perp BC_1\). Ребро \(A_1C_1\) перпендикулярно прямой \(C_1C\) (грань \(AA_1C_1C\) — квадрат) и прямой \(C_1B_1\) (основания призмы — равные треугольники, поэтому \(\angle A_1C_1B_1 = \angle ACB = 90^\circ\)); эти прямые пересекаются, поэтому \(A_1C_1 \perp CC_1B_1\) и \(A_1C_1 \perp CB_1\). Прямая \(CB_1\) перпендикулярна двум пересекающимся прямым \(BC_1\) и \(A_1C_1\) плоскости \(A_1BC_1\), следовательно, \(CB_1 \perp A_1BC_1\), а так как \(A_1B \subset A_1BC_1\), то \(CB_1 \perp A_1B\).
Через точку \(M\) проведём отрезок \(MK\) параллельно отрезку \(CB_1\) (точка \(K\) принадлежит ребру \(BB_1\)), а в плоскости основания — отрезок \(MN\) перпендикулярно прямой \(AB\) (точка \(N\) лежит на прямой \(AB\)). Соединим точки \(N\) и \(K\).
Поскольку \(MK \parallel CB_1\), то угол между прямыми \(A_1B\) и \(MK\) равен углу между прямыми \(A_1B\) и \(CB_1\), то есть \(A_1B \perp MK\). Поскольку \(BB_1 \perp ABC\), то \(BB_1 \perp MN\). Прямая \(MN\) перпендикулярна двум пересекающимся прямым \(AB\) и \(BB_1\) плоскости \(ABB_1\), поэтому \(MN \perp ABB_1\), и так как прямые \(A_1B\) и \(NK\) лежат в этой плоскости, то \(MN \perp A_1B\) и \(MN \perp NK\). Прямая \(A_1B\) перпендикулярна двум пересекающимся прямым \(MK\) и \(MN\) плоскости \(MNK\), следовательно, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости \(A_1B \perp MNK\).
Отрезок \(MK\) проходит через середину \(M\) стороны \(BC\) треугольника \(BCB_1\) параллельно стороне \(CB_1\), поэтому \(K\) — середина ребра \(BB_1\) и \(BK = \frac{a}{2}\). Треугольник \(ABC\) прямоугольный и равнобедренный, поэтому \(\angle ABC = 45^\circ\) и \(AB = a\sqrt{2}\). Угол \(MBA\) острый, поэтому точка \(N\) лежит на луче \(BA\), и прямоугольный треугольник \(BNM\) с углом \(45^\circ\) равнобедренный: \(MN = BN = \frac{BM}{\sqrt{2}} = \frac{a}{2\sqrt{2}} = \frac{a\sqrt{2}}{4}\). Так как \(BN = \frac{1}{4}AB\), точка \(N\) лежит на ребре \(AB\). Поскольку \(BB_1 \perp AB\), из прямоугольного треугольника \(NBK\) \[NK = \sqrt{BN^2 + BK^2} = \sqrt{\frac{a^2}{8} + \frac{a^2}{4}} = \sqrt{\frac{3a^2}{8}} = \frac{a\sqrt{6}}{4}.\]
Треугольник \(MNK\) прямоугольный (\(MN \perp NK\)), поэтому его площадь \[S = \frac{1}{2} \cdot MN \cdot NK = \frac{1}{2} \cdot \frac{a\sqrt{2}}{4} \cdot \frac{a\sqrt{6}}{4} = \frac{a^2\sqrt{12}}{32} = \frac{a^2\sqrt{3}}{16}.\]
Ответ: сечение — прямоугольный треугольник \(MNK\), где \(K\) — середина ребра \(BB_1\), \(N\) — точка ребра \(AB\), \(BN = \frac{1}{4}AB\); его площадь равна \(\frac{a^2\sqrt{3}}{16}\).
Основанием призмы \(ABCA_1B_1C_1\) является равнобедренный прямоугольный треугольник \(ABC\) (\(\angle ACB = 90^\circ\)), катет \(AC\) которого равен \(a\). Грани \(AA_1C_1C\) и \(CC_1B_1B\) являются квадратами. Точка \(M\) — середина ребра \(BC\). Постройте сечение призмы плоскостью, проходящей через точку \(M\) и перпендикулярной прямой \(A_1B\). Найдите площадь этого сечения.
Дано:
\(ABCA_1B_1C_1\) — призма
\(\angle ACB = 90^\circ\)
\(AC = BC = a\)
\(AA_1C_1C\) и \(CC_1B_1B\) — квадраты
\(M\) — середина ребра \(BC\)
сечение проходит через точку \(M\) перпендикулярно прямой \(A_1B\)
Найти: площадь сечения.
Решение:
Ребро \(CC_1\) перпендикулярно пересекающимся прямым \(CA\) и \(CB\) (грани \(AA_1C_1C\) и \(CC_1B_1B\) — квадраты), поэтому по признаку перпендикулярности прямой и плоскости \(CC_1 \perp ABC\). Грань \(CC_1B_1B\) — квадрат, поэтому \(BB_1 \parallel CC_1\) и \(BB_1 = BC = a\); значит, \(BB_1 \perp ABC\): если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна плоскости, то и другая прямая перпендикулярна этой плоскости.
Докажем, что \(CB_1 \perp A_1B\). Диагонали квадрата \(CC_1B_1B\) перпендикулярны: \(CB_1 \perp BC_1\). Ребро \(A_1C_1\) перпендикулярно прямой \(C_1C\) (грань \(AA_1C_1C\) — квадрат) и прямой \(C_1B_1\) (основания призмы — равные треугольники, поэтому \(\angle A_1C_1B_1 = \angle ACB = 90^\circ\)); эти прямые пересекаются, поэтому \(A_1C_1 \perp CC_1B_1\) и \(A_1C_1 \perp CB_1\). Прямая \(CB_1\) перпендикулярна двум пересекающимся прямым \(BC_1\) и \(A_1C_1\) плоскости \(A_1BC_1\), следовательно, \(CB_1 \perp A_1BC_1\), а так как \(A_1B \subset A_1BC_1\), то \(CB_1 \perp A_1B\).
Через точку \(M\) проведём отрезок \(MK\) параллельно отрезку \(CB_1\) (точка \(K\) принадлежит ребру \(BB_1\)), а в плоскости основания — отрезок \(MN\) перпендикулярно прямой \(AB\) (точка \(N\) лежит на прямой \(AB\)). Соединим точки \(N\) и \(K\). Докажем, что треугольник \(MNK\) — искомое сечение.
Поскольку \(MK \parallel CB_1\), то угол между прямыми \(A_1B\) и \(MK\) равен углу между прямыми \(A_1B\) и \(CB_1\), то есть \(A_1B \perp MK\). Поскольку \(BB_1 \perp ABC\), то \(BB_1 \perp MN\). Прямая \(MN\) перпендикулярна двум пересекающимся прямым \(AB\) и \(BB_1\) плоскости \(ABB_1\), поэтому \(MN \perp ABB_1\), и так как прямые \(A_1B\) и \(NK\) лежат в этой плоскости, то \(MN \perp A_1B\) и \(MN \perp NK\). Прямая \(A_1B\) перпендикулярна двум пересекающимся прямым \(MK\) и \(MN\) плоскости \(MNK\), следовательно, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости \(A_1B \perp MNK\).
Отрезок \(MK\) проходит через середину \(M\) стороны \(BC\) треугольника \(BCB_1\) параллельно стороне \(CB_1\), поэтому \(K\) — середина ребра \(BB_1\) и \(BK = \frac{a}{2}\). Треугольник \(ABC\) прямоугольный и равнобедренный, поэтому \(\angle ABC = 45^\circ\) и \(AB = a\sqrt{2}\). Угол \(MBA\) острый, поэтому точка \(N\) лежит на луче \(BA\), и прямоугольный треугольник \(BNM\) с углом \(45^\circ\) равнобедренный: \(MN = BN = \frac{BM}{\sqrt{2}} = \frac{a}{2\sqrt{2}} = \frac{a\sqrt{2}}{4}\). Так как \(BN = \frac{1}{4}AB\), точка \(N\) лежит на ребре \(AB\). Поскольку \(BB_1 \perp AB\), из прямоугольного треугольника \(NBK\) \[NK = \sqrt{BN^2 + BK^2} = \sqrt{\frac{a^2}{8} + \frac{a^2}{4}} = \sqrt{\frac{3a^2}{8}} = \frac{a\sqrt{6}}{4}.\]
Треугольник \(MNK\) прямоугольный (\(MN \perp NK\)), поэтому его площадь \[S = \frac{1}{2} \cdot MN \cdot NK = \frac{1}{2} \cdot \frac{a\sqrt{2}}{4} \cdot \frac{a\sqrt{6}}{4} = \frac{a^2\sqrt{12}}{32} = \frac{a^2\sqrt{3}}{16}.\]
Ответ: сечение — прямоугольный треугольник \(MNK\), где \(K\) — середина ребра \(BB_1\), \(N\) — точка ребра \(AB\), \(BN = \frac{1}{4}AB\); его площадь равна \(\frac{a^2\sqrt{3}}{16}\).
