Страница 123 номер 10.41, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Через вершину \(B\) прямоугольного треугольника \(ABC\) (\(\angle ACB = 90^\circ\)) проведена прямая \(BD\), перпендикулярная плоскости \(ABC\). На отрезках \(DC\) и \(DA\) отмечены точки \(E\) и \(F\) такие, что \(EF \parallel AC\). Докажите, что \(BE \perp EF\).
Поскольку \(BD \perp ABC\), а прямая \(AC\) лежит в плоскости \(ABC\), то по определению прямой, перпендикулярной плоскости, \(BD \perp AC\). По условию \(\angle ACB = 90^\circ\), то есть \(AC \perp BC\). Прямая \(AC\) перпендикулярна двум пересекающимся прямым \(BC\) и \(BD\) плоскости \(BCD\), следовательно, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости \(AC \perp BCD\).
Точки \(B\) и \(E\) лежат в плоскости \(BCD\) (точка \(E\) — на отрезке \(DC\)), поэтому прямая \(BE\) лежит в этой плоскости, и по определению прямой, перпендикулярной плоскости, \(AC \perp BE\). Поскольку \(EF \parallel AC\), то угол между прямыми \(BE\) и \(EF\) равен углу между прямыми \(BE\) и \(AC\), то есть \(90^\circ\). Значит, \(BE \perp EF\).
Ответ: прямые \(BE\) и \(EF\) перпендикулярны.
