Страница 124 номер 10.48, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Точка \(E\) — середина ребра \(DD_1\) куба \(ABCDA_1B_1C_1D_1\). Найдите косинус угла между прямыми \(AB_1\) и \(A_1E\).
Дано:
куб \(ABCDA_1B_1C_1D_1\)
\(E\) — середина ребра \(DD_1\)
Найти: косинус угла между прямыми \(AB_1\) и \(A_1E\).
Решение: Пусть ребро куба равно \(a\), \(N\) — середина ребра \(D_1C_1\). Отрезок \(EN\) — средняя линия треугольника \(DD_1C_1\), поэтому \(EN \parallel DC_1\). Рёбра \(AD\) и \(B_1C_1\) параллельны ребру \(BC\). Две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны между собой, поэтому \(AD \parallel B_1C_1\) и точки \(A\), \(D\), \(C_1\) и \(B_1\) лежат в одной плоскости. Плоскости \(AA_1B\) и \(DD_1C\) параллельны по признаку параллельности двух плоскостей: пересекающиеся прямые \(AB\) и \(AA_1\) первой из них соответственно параллельны прямым \(DC\) и \(DD_1\) второй. Плоскость \(AB_1C_1\) пересекает эти параллельные плоскости по параллельным прямым \(AB_1\) и \(DC_1\). Значит, прямые \(EN\) и \(AB_1\), параллельные прямой \(DC_1\), параллельны между собой, и угол между прямыми \(AB_1\) и \(A_1E\) равен углу между пересекающимися прямыми \(EN\) и \(A_1E\).
Отрезок \(DC_1\) — диагональ квадрата \(DD_1C_1C\), поэтому \(DC_1 = a\sqrt{2}\) и \(EN = \frac{1}{2}DC_1 = \frac{a\sqrt{2}}{2}\). Треугольники \(A_1D_1E\) и \(A_1D_1N\) прямоугольные (\(\angle A_1D_1E = \angle A_1D_1N = 90^\circ\) как углы квадратов \(AA_1D_1D\) и \(A_1B_1C_1D_1\)), катет \(A_1D_1\) у них общий, а катеты \(D_1E\) и \(D_1N\) равны \(\frac{a}{2}\). Поэтому \(A_1N = A_1E\) и \[A_1E = \sqrt{A_1D_1^2 + D_1E^2} = \sqrt{a^2 + \frac{a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{5}}{2}.\]
По теореме косинусов для треугольника \(A_1EN\), учитывая, что \(A_1N = A_1E\): \[\begin{aligned} &\cos\angle A_1EN = \frac{A_1E^2 + EN^2 - A_1N^2}{2 \cdot A_1E \cdot EN} = {} \\ &= \frac{EN^2}{2 \cdot A_1E \cdot EN} = \frac{EN}{2 \cdot A_1E} = {} \\ &= \frac{a\sqrt{2}}{2 \cdot a\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{10}}{10}. \end{aligned}\]
Косинус положителен, значит, угол \(A_1EN\) острый и равен углу между прямыми \(A_1E\) и \(EN\). Следовательно, косинус угла между прямыми \(AB_1\) и \(A_1E\) равен \(\frac{\sqrt{10}}{10}\).
Ответ: \(\frac{\sqrt{10}}{10}\).
Точка \(E\) — середина ребра \(DD_1\) куба \(ABCDA_1B_1C_1D_1\). Найдите косинус угла между прямыми \(AB_1\) и \(A_1E\).
Дано:
куб \(ABCDA_1B_1C_1D_1\)
\(E\) — середина ребра \(DD_1\)
Найти: косинус угла между прямыми \(AB_1\) и \(A_1E\).
Решение: Пусть ребро куба равно \(a\), \(N\) — середина ребра \(D_1C_1\). Отрезок \(EN\) — средняя линия треугольника \(DD_1C_1\), поэтому \(EN \parallel DC_1\). Рёбра \(AD\) и \(B_1C_1\) параллельны ребру \(BC\). Две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны между собой, поэтому \(AD \parallel B_1C_1\) и точки \(A\), \(D\), \(C_1\) и \(B_1\) лежат в одной плоскости. Плоскости \(AA_1B\) и \(DD_1C\) параллельны по признаку параллельности двух плоскостей: пересекающиеся прямые \(AB\) и \(AA_1\) первой из них соответственно параллельны прямым \(DC\) и \(DD_1\) второй. Плоскость \(AB_1C_1\) пересекает эти параллельные плоскости по параллельным прямым \(AB_1\) и \(DC_1\). Значит, прямые \(EN\) и \(AB_1\), параллельные прямой \(DC_1\), параллельны между собой, и угол между прямыми \(AB_1\) и \(A_1E\) равен углу между пересекающимися прямыми \(EN\) и \(A_1E\).
Найдём стороны треугольника \(A_1EN\). Отрезок \(DC_1\) — диагональ квадрата \(DD_1C_1C\), поэтому \(DC_1 = a\sqrt{2}\) и \(EN = \frac{1}{2}DC_1 = \frac{a\sqrt{2}}{2}\). Треугольники \(A_1D_1E\) и \(A_1D_1N\) прямоугольные (\(\angle A_1D_1E = \angle A_1D_1N = 90^\circ\) как углы квадратов \(AA_1D_1D\) и \(A_1B_1C_1D_1\)), катет \(A_1D_1\) у них общий, а катеты \(D_1E\) и \(D_1N\) равны \(\frac{a}{2}\). Поэтому \(A_1N = A_1E\) и \[A_1E = \sqrt{A_1D_1^2 + D_1E^2} = \sqrt{a^2 + \frac{a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{5}}{2}.\]
По теореме косинусов для треугольника \(A_1EN\), учитывая, что \(A_1N = A_1E\): \[\begin{aligned} &\cos\angle A_1EN = \frac{A_1E^2 + EN^2 - A_1N^2}{2 \cdot A_1E \cdot EN} = {} \\ &= \frac{EN^2}{2 \cdot A_1E \cdot EN} = \frac{EN}{2 \cdot A_1E} = {} \\ &= \frac{a\sqrt{2}}{2 \cdot a\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{10}}{10}. \end{aligned}\]
Косинус положителен, значит, угол \(A_1EN\) острый и равен углу между прямыми \(A_1E\) и \(EN\). Следовательно, косинус угла между прямыми \(AB_1\) и \(A_1E\) равен \(\frac{\sqrt{10}}{10}\).
Ответ: \(\frac{\sqrt{10}}{10}\).
