Страница 124 номер 10.49, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень

Дано:
\(SABC\) — пирамида
\(ABC\) — равносторонний треугольник
\(AB = 4\sqrt{2}\) см
\(SC \perp ABC\)
\(SC = 2\) см
\(M\) — середина ребра \(BC\)
\(K\) — середина ребра \(AB\)

Найти: угол между прямыми \(SM\) и \(CK\).

Решение:

Пусть \(N\) — середина отрезка \(KB\). Отрезок \(MN\) — средняя линия треугольника \(BCK\), поэтому \(MN \parallel CK\) и \(MN = \frac{1}{2}CK\). Поскольку \(MN \parallel CK\), то угол между прямыми \(SM\) и \(CK\) равен углу между прямыми \(SM\) и \(MN\).

Медиана \(CK\) равностороннего треугольника \(ABC\) является его высотой, поэтому \(CK \perp AB\) и по теореме Пифагора \(CK = \sqrt{AC^2 - AK^2} = \sqrt{32 - 8} = 2\sqrt{6}\) (см). Тогда \(MN = \sqrt{6}\) см, \(KN = \frac{1}{2}KB = \frac{1}{4}AB = \sqrt{2}\) см, и из прямоугольного треугольника \(CKN\) \[CN^2 = CK^2 + KN^2 = 24 + 2 = 26.\]

Прямая \(SC\) перпендикулярна плоскости \(ABC\), поэтому \(SC \perp CM\) и \(SC \perp CN\). Так как \(CM = \frac{1}{2}BC = 2\sqrt{2}\) см, из прямоугольных треугольников \(SCM\) и \(SCN\) \[\begin{aligned} SM^2 &= SC^2 + CM^2 = 4 + 8 = 12; \\ SN^2 &= SC^2 + CN^2 = 4 + 26 = 30. \end{aligned}\]

По теореме косинусов для треугольника \(SMN\) (\(SM = 2\sqrt{3}\) см, \(MN = \sqrt{6}\) см) \[\begin{aligned} &\cos\angle SMN = \frac{SM^2 + MN^2 - SN^2}{2 \cdot SM \cdot MN} = {} \\ &= \frac{12 + 6 - 30}{2 \cdot 2\sqrt{3} \cdot \sqrt{6}} = -\frac{12}{12\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}. \end{aligned}\]

Значит, \(\angle SMN = 135^\circ\). При пересечении прямых \(SM\) и \(MN\) образуются углы \(135^\circ\) и \(180^\circ - 135^\circ = 45^\circ\); угол между прямыми — тот из них, который не превосходит \(90^\circ\). Следовательно, угол между прямыми \(SM\) и \(CK\) равен \(45^\circ\).

Ответ: \(45^\circ\).