Страница 123 номер 10.44, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
В тетраэдре \(DABC\) ребро \(BD\) перпендикулярно плоскости \(ADC\), \(\angle DAC = 90^\circ\), \(AD = AC = 10\sqrt{2}\) см, \(BD = 12\) см. Точка \(M\) — середина ребра \(AC\). Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точку \(M\) и перпендикулярной ребру \(CD\). Найдите площадь этого сечения.
Дано:
\(DABC\) — тетраэдр
\(BD \perp ADC\)
\(\angle DAC = 90^\circ\)
\(AD = AC = 10\sqrt{2}\) см
\(BD = 12\) см
\(M\) — середина ребра \(AC\)
сечение проходит через точку \(M\) перпендикулярно прямой \(CD\)
Найти: площадь сечения.
Решение:
Треугольник \(ADC\) прямоугольный и равнобедренный (\(\angle DAC = 90^\circ\), \(AD = AC\)), поэтому \(\angle ACD = 45^\circ\) и по теореме Пифагора \(DC = \sqrt{AD^2 + AC^2} = \sqrt{200 + 200} = 20\) (см). В плоскости \(ADC\) проведём через точку \(M\) прямую, перпендикулярную прямой \(DC\), и обозначим точку их пересечения \(K\). Угол \(MCD\) острый, поэтому точка \(K\) лежит на луче \(CD\), а прямоугольный треугольник \(MKC\) с углом \(45^\circ\) при вершине \(C\) равнобедренный. Так как \(CM = \frac{1}{2}AC = 5\sqrt{2}\) см, то \(CK = MK = \frac{CM}{\sqrt{2}} = \frac{5\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 5\) (см). Поскольку \(CK < CD\), точка \(K\) лежит на ребре \(DC\), \(DK = 20 - 5 = 15\) (см) и \(DK : KC = 3 : 1\).
Через точку \(K\) в плоскости \(BDC\) проведём отрезок \(KN\) параллельно ребру \(BD\) (точка \(N\) принадлежит ребру \(BC\)). Соединим точки \(M\) и \(N\).
Поскольку \(BD \perp ADC\) и \(KN \parallel BD\), то \(KN \perp ADC\): если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна плоскости, то и другая прямая перпендикулярна этой плоскости. Прямые \(DC\) и \(MK\) лежат в плоскости \(ADC\), поэтому \(KN \perp DC\) и \(KN \perp MK\). По построению \(MK \perp DC\). Прямая \(DC\) перпендикулярна двум пересекающимся прямым \(MK\) и \(KN\) плоскости \(MKN\), следовательно, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости \(DC \perp MKN\).
В треугольнике \(BDC\) отрезок \(KN\) параллелен стороне \(BD\), поэтому треугольники \(NKC\) и \(BDC\) подобны и \(\frac{KN}{BD} = \frac{CN}{CB} = \frac{CK}{CD} = \frac{5}{20} = \frac{1}{4}\). Отсюда \(KN = \frac{1}{4} \cdot 12 = 3\) (см) и \(CN : NB = 1 : 3\). Треугольник \(MKN\) прямоугольный (\(KN \perp MK\)), его площадь \(S = \frac{1}{2} \cdot MK \cdot KN = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 3 = \frac{15}{2}\) (см\(^2\)).
Ответ: сечение — прямоугольный треугольник \(MKN\), где \(K\) — точка ребра \(DC\), \(DK : KC = 3 : 1\), и \(N\) — точка ребра \(BC\), \(CN : NB = 1 : 3\); его площадь равна \(\frac{15}{2}\) см\(^2\).
В тетраэдре \(DABC\) ребро \(BD\) перпендикулярно плоскости \(ADC\), \(\angle DAC = 90^\circ\), \(AD = AC = 10\sqrt{2}\) см, \(BD = 12\) см. Точка \(M\) — середина ребра \(AC\). Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точку \(M\) и перпендикулярной ребру \(CD\). Найдите площадь этого сечения.
Дано:
\(DABC\) — тетраэдр
\(BD \perp ADC\)
\(\angle DAC = 90^\circ\)
\(AD = AC = 10\sqrt{2}\) см
\(BD = 12\) см
\(M\) — середина ребра \(AC\)
сечение проходит через точку \(M\) перпендикулярно прямой \(CD\)
Найти: площадь сечения.
Решение:
Треугольник \(ADC\) прямоугольный и равнобедренный (\(\angle DAC = 90^\circ\), \(AD = AC\)), поэтому \(\angle ACD = 45^\circ\) и по теореме Пифагора \(DC = \sqrt{AD^2 + AC^2} = \sqrt{200 + 200} = 20\) (см). В плоскости \(ADC\) проведём через точку \(M\) прямую, перпендикулярную прямой \(DC\), и обозначим точку их пересечения \(K\). Угол \(MCD\) острый, поэтому точка \(K\) лежит на луче \(CD\), а прямоугольный треугольник \(MKC\) с углом \(45^\circ\) при вершине \(C\) равнобедренный. Так как \(CM = \frac{1}{2}AC = 5\sqrt{2}\) см, то \(CK = MK = \frac{CM}{\sqrt{2}} = \frac{5\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 5\) (см). Поскольку \(CK < CD\), точка \(K\) лежит на ребре \(DC\), \(DK = 20 - 5 = 15\) (см) и \(DK : KC = 3 : 1\).
Через точку \(K\) в плоскости \(BDC\) проведём отрезок \(KN\) параллельно ребру \(BD\) (точка \(N\) принадлежит ребру \(BC\)). Соединим точки \(M\) и \(N\). Докажем, что треугольник \(MKN\) — искомое сечение.
Поскольку \(BD \perp ADC\) и \(KN \parallel BD\), то \(KN \perp ADC\): если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна плоскости, то и другая прямая перпендикулярна этой плоскости. Прямые \(DC\) и \(MK\) лежат в плоскости \(ADC\), поэтому \(KN \perp DC\) и \(KN \perp MK\). По построению \(MK \perp DC\). Прямая \(DC\) перпендикулярна двум пересекающимся прямым \(MK\) и \(KN\) плоскости \(MKN\), следовательно, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости \(DC \perp MKN\).
В треугольнике \(BDC\) отрезок \(KN\) параллелен стороне \(BD\), поэтому треугольники \(NKC\) и \(BDC\) подобны и \(\frac{KN}{BD} = \frac{CN}{CB} = \frac{CK}{CD} = \frac{5}{20} = \frac{1}{4}\). Отсюда \(KN = \frac{1}{4} \cdot 12 = 3\) (см) и \(CN : NB = 1 : 3\). Треугольник \(MKN\) прямоугольный (\(KN \perp MK\)), его площадь \(S = \frac{1}{2} \cdot MK \cdot KN = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 3 = \frac{15}{2}\) (см\(^2\)).
Ответ: сечение — прямоугольный треугольник \(MKN\), где \(K\) — точка ребра \(DC\), \(DK : KC = 3 : 1\), и \(N\) — точка ребра \(BC\), \(CN : NB = 1 : 3\); его площадь равна \(\frac{15}{2}\) см\(^2\).
