Страница 427 номер 1569, ГДЗ по алгебре за 10-11 класс Алимов - ответы и решение

1) \(\begin{cases} \log_{y}x + \log_{x}y = \frac{5}{2} \\ x + y = a + a^{2} \end{cases}\)

Область определения: \(x > 0\), \(x \neq 1\), \(y > 0\), \(y \neq 1\);

\(\begin{cases} \log_{y}x + \frac{1}{\log_{y}x} = \frac{5}{2} \\ x + y = a + a^{2} \end{cases},\)
\(\begin{cases} 2\log_{y}^{2}x + 2 - 5\log_{y}x = 0 \\ x + y = a + a^{2} \end{cases},\)
\(\log_{y}x = \dfrac{5 \pm \sqrt{25 - 16}}{4},\)
\(\log_{y}x = 2\) или \(\log_{y}x = \frac{1}{2}\)
\(x = y^{2}\) или \(x = \sqrt{y}\)
\(\begin{cases} x = y^{2} \\ y^{2} + y = a + a^{2} \end{cases}\) или \(\begin{cases} x = \sqrt{y} \\ \sqrt{y} + y = a + a^{2} \end{cases}\)
\(y_{1{,}2} = \dfrac{-1 \pm \sqrt{1 + 4\left( a + a^{2} \right)}}{2},\)
\(1 + 4\left( a + a^{2} \right) = 4a^{2} + 4a + 1 = (2a + 1)^{2},\)
\(y_{1} = \dfrac{-1 + 2a + 1}{2} = a, y_{2} = \dfrac{-1 - 2a - 1}{2} = - a - 1,\)
\(x_{1{,}2} = a + a^{2} - y_{1{,}2};\)
\(x_{1} = a^{2}, x_{2} = (a + 1)^{2};\)
\(y_{3{,}4} = \left( \dfrac{-1 \pm \sqrt{1 + 4\left( a + a^{2} \right)}}{2} \right)^{2},\)
\(y_{3} = a^{2}, y_{4} = (a + 1)^{2},\)
\(x_{3{,}4} = a + a^{2} - y_{3{,}4};\)
\(x_{3} = a, x_{4} = - a - 1;\)

Учитывая область определения:

\(y_{1} = x_{3} = a > 0, a \neq 1;\)
\(y_{2} = x_{4} = - a - 1 > 0, - a - 1 \neq 1, a < - 1, a \neq - 2;\)

Ответ: \(a > 0\), \(a \neq 1\): \(\left( a;\ a^{2} \right)\), \(\left( a^{2};\ a \right)\);

\(a < - 1, a \neq - 2: \left(-a - 1;\ (a + 1)^{2} \right), \left( (a + 1)^{2}; - a - 1 \right);\)

2) \(\begin{cases} x^{2} + y^{2} = a^{2} \\ \log_{b}x + \log_{b}y = 2 \end{cases}\)
\(b > 0, b \neq 1, x > 0, y > 0\)
\(\begin{cases} x^{2} + y^{2} = a^{2} \\ \log_{b}{xy} = 2 \end{cases},\)
\(\begin{cases} x^{2} + y^{2} = a^{2} \\ xy = b^{2} \end{cases},\)
\(\begin{cases} x = \frac{b^{2}}{y} \\ \left( \frac{b^{2}}{y} \right)^{2} + y^{2} = a^{2} \end{cases},\)
\(b^{4} + y^{4} = a^{2}y^{2},\)
\(y_{1{,}2}^{2} = \dfrac{a^{2} \pm \sqrt{a^{4} - 4b^{4}}}{2},\)
\(a^{4} - 4b^{4} \geqslant 0, |a| \geqslant b\sqrt{2},\)
\(y = \sqrt{\frac{a^{2} \pm \sqrt{a^{4} - 4b^{4}}}{2}}\);
\(x^{2} = a^{2} - y^{2} = \dfrac{a^{2} \mp \sqrt{a^{4} - 4b^{4}}}{2},\)
\(x = \sqrt{\dfrac{a^{2} \mp \sqrt{a^{4} - 4b^{4}}}{2}};\)

Ответ: \(\left( \sqrt{\frac{a^{2} \mp \sqrt{a^{4} - 4b^{4}}}{2}};\ \sqrt{\frac{a^{2} \pm \sqrt{a^{4} - 4b^{4}}}{2}} \right)\), при \(|a| \geqslant b\sqrt{2}\), \(b > 0\), \(b \neq 1\); при остальных \(a\) и \(b\) решений нет.