Страница 429 номер 1593, ГДЗ по алгебре за 10-11 класс Алимов - ответы и решение

Задачи для внеклассной работы. Страница 429. Номер 1593

Задание / условие:

Через точку графика функции \(y = \sqrt{x}\) с абсциссой \(a\), где \(\frac{1}{2} \le a \le 2\), проведена касательная к этому графику. Найти значение \(a\), при котором площадь треугольника, ограниченного этой касательной, осью \(Ox\) и прямой \(x = 3\), будет наименьшей, и вычислить эту наименьшую площадь.

Решение:

\(y = \sqrt{x};\)

Уравнение касательной в точке с абсциссой \(a\):

\(g(x) = \dfrac{x}{2\sqrt{a}} - \dfrac{\sqrt{a}}{2} + \sqrt{a} = \dfrac{x - a + 2a}{2\sqrt{a}} = \dfrac{a + x}{2\sqrt{a}};\)

Точка пересечения с прямой

\(x = 3:\)
\(g(3) = \dfrac{a + 3}{2\sqrt{a}};\)

Точка пересечения с осью \(Ox\):

\(\dfrac{a + x}{2\sqrt{a}} = 0, x = - a;\)

Площадь треугольника:

\(S = \int_{-a}^{3}{\dfrac{a + x}{2\sqrt{a}}dx} = \left. \ \dfrac{(a + x)^{2}}{4\sqrt{a}} \right|_{-a}^{3} = \dfrac{(a + 3)^{2}}{4\sqrt{a}},\)
\(S'(a) = \dfrac{2(a + 3)4\sqrt{a} - \frac{(a + 3)^{2}4}{2\sqrt{a}}}{16a} =\)
\(= \dfrac{8a(a + 3) - 2(a + 3)^{2}}{16a\sqrt{a}} = \dfrac{8a^{2} + 24a - 2a^{2} - 12a - 18}{16a\sqrt{a}} =\)
\(= \dfrac{3a^{2} + 6a - 9}{8a\sqrt{a}},\)
\(S'(a) = 0,\)
\(a^{2} + 2a - 3 = 0,\)
\(a_{1{,}2} = \dfrac{-2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2},\)
\(a_{1} = 1\), \(a_{2} = - 3\) – не соответствует условию;
\(a = 1\) – точка минимума.
\(S = \dfrac{(1 + 3)^{2}}{4\sqrt{1}} = 4.\)
\(S\left( \dfrac{1}{2} \right) = \dfrac{\left( \frac{1}{2} + 3 \right)^{2}}{4\sqrt{\dfrac{1}{2}}} = \dfrac{49\sqrt{2}}{16} > 4,\)
\(S(2) = \dfrac{(2 + 3)^{2}}{4\sqrt{2}} = \dfrac{25\sqrt{2}}{8} > 4.\)