Страница 428 номер 1585, ГДЗ по алгебре за 10-11 класс Алимов - ответы и решение

\(f(x) = \sin{2x} - 8(b + 2)\cos x - \left( 4b^{2} + 16b + 6 \right)x,\)
\(f'(x) = 2\cos{2x} + 8(b + 2)\sin x - \left( 4b^{2} + 16b + 6 \right),\)
\(f'(x) < 0,\)
\(2b^{2} - 4b\sin x - 8\sin x + 8b + 3 - \cos{2x} > 0,\)
\(2b^{2} - 4b\left( \sin x - 2 \right) - \left( \cos{2x} + 8\sin x - 3 \right) > 0,\)
\(b_{1{,}2} = \dfrac{4\left( \sin x - 2 \right) \pm \sqrt{16\left( \sin x - 2 \right)^{2} + 8\cos{2x} + 64\sin x - 24}}{4} =\)
\(= \dfrac{4\left( \sin x - 2 \right) \pm \sqrt{16\sin^{2}x - 64\sin x + 64 + 8\cos{2x} + 64\sin x - 24}}{4} =\)
\(= \dfrac{4\left( \sin x - 2 \right) \pm \sqrt{8\sin^{2}x + 40 + 8\cos^{2}x}}{4} =\)
\(= \dfrac{4\left( \sin x - 2 \right) \pm \sqrt{48}}{4} = \sin x - 2 \pm \sqrt{3}\)
\(\left( b - \sin x + 2 - \sqrt{3} \right)\left( b - \sin x + 2 + \sqrt{3} \right) > 0.\)

Т.к. \(-1 \leqslant \sin x \leqslant 1\), то \(b > 1 - 2 + \sqrt{3}\) или \(b < -1 - 2 - \sqrt{3}\).

Неравенство верно при любом \(x\), при \(b < - 3 - \sqrt{3}\) и \(b > \sqrt{3} - 1\).