Страница 427 номер 1575, ГДЗ по алгебре за 10-11 класс Алимов - ответы и решение

\(\log_{|2x + 2|}\left( 1 - 9^{x} \right) < \log_{|2x + 2|}\left( 1 + 3^{x} \right) + \log_{|2x + 2|}\left( \dfrac{5}{9} + 3^{x - 1} \right)\)

Область определения: \(x < 0\), \(x \neq - \frac{3}{2}\), \(x \neq - 1\), \(x \neq - \frac{1}{2}\);

а) \(|2x + 2| > 1\):
\(x < - \dfrac{3}{2}, x > - \dfrac{1}{2}\)
\(\log_{|2x + 2|}\dfrac{\left( 1 - 3^{x} \right)\left( 1 + 3^{x} \right)}{1 + 3^{x}} < \log_{|2x + 2|}\left( \dfrac{5}{9} + 3^{x - 1} \right),\)
\(1 - 3^{x} < \dfrac{5 + 3^{x + 1}}{9},\)
\(9 - 5 - 9 \cdot 3^{x} - 3 \cdot 3^{x} < 0,\)
\(4 < 12 \cdot 3^{x},\)
\(3^{x} > 3^{-1},\)
\(x > - 1;\)

Учитывая условие и область определения – \(- \frac{1}{2} < x < 0\);

б) \(|2x + 2| < 1\):
\(- \dfrac{3}{2} < x < - \dfrac{1}{2},\)
\(1 - 3^{x} > \dfrac{5 + 3^{x + 1}}{9},\)
\(4 > 12 \cdot 3^{x},\)
\(x < - 1;\)

Учитывая условие – \(- \frac{3}{2} < x < - 1\).

Ответ: \(x \in \left(-\frac{3}{2}; - 1 \right) \cup \left(-\frac{1}{2};\ 0 \right)\).