Страница 428 номер 1584, ГДЗ по алгебре за 10-11 класс Алимов - ответы и решение

\(\arcsin x + \arccos x = C,\)
\(\arcsin x = C - \arccos x,\)
\(\sin\left( \arcsin x \right) = \sin\left( C - \arccos x \right),\)
\(x = \sin C \cdot \cos\left( \arccos x \right) - \cos C \cdot \sin\left( \arccos x \right),\)
\(x = x\sin C - \sqrt{1 - x^{2}}\cos C,\)
\(x\left( \sin C - 1 \right) = \sqrt{1 - x^{2}}\cos C,\)
\(x^{2}\left( \sin^{2}C - 2\sin C + 1 \right) = \cos^{2}C\left( 1 - x^{2} \right),\)
\(x^{2}\sin^{2}C - 2x^{2}\sin C + x^{2} - \cos^{2}C + x^{2}\cos^{2}C = 0,\)
\(2x^{2} - 2x^{2}\sin C - 1 + \sin^{2}C = 0,\)
\(2x^{2}\left( 1 - \sin C \right) - \left( 1 - \sin^{2}C \right) = 0,\)
\(\left( 1 - \sin C \right)\left( 2x^{2} - \left( 1 + \sin C \right) \right) = 0,\)

при любом \(x\), уравнение имеет решение при \(\sin C = 1\).

Пусть \(\alpha = \arcsin x\), \(\alpha \in \left[ -\frac{\pi}{2};\ \frac{\pi}{2} \right]\), \(\sin\alpha = x\), тогда

\(\dfrac{\pi}{2} - \alpha \in [0;\ \pi],\)
\(\cos\left( \dfrac{\pi}{2} - \alpha \right) = \sin\alpha = x,\)
\(\arccos x = \dfrac{\pi}{2} - \alpha,\)
\(\arcsin x + \arccos x = \alpha + \frac{\pi}{2} - \alpha = \frac{\pi}{2}\) при любом \(x \in [-1;\ 1]\) – сумма постоянна.

Т.е. \(C = \frac{\pi}{2}\).