Страница 428 номер 1590, ГДЗ по алгебре за 10-11 класс Алимов - ответы и решение

Задачи для внеклассной работы. Страница 428. Номер 1590

Задание / условие:

Графику функции \(y = -x^3 + ax^2 + bx + c\) принадлежат точки \(A\) и \(B\), симметричные относительно прямой \(x = 2\). Касательные к этому графику в точках \(A\) и \(B\) параллельны между собой. Одна из этих касательных проходит через точку \((0;\ 2)\), а другая — через точку \((0;\ 6)\). Найти значения \(a\), \(b\), \(c\).

Решение:

Обозначим расстояние от прямой до точек \(A\) и \(B\) – \(l\), \(l > 0\).

Тогда координаты точек \(A\left( 2 - l,y_{1} \right)\), \(B\left( 2 + l,y_{1} \right)\).

Подставим точки в функцию:

\(y = - (2 - l)^{3} + a(2 - l)^{2} + b(2 - l) + c,\)
\(y = - (2 + l)^{3} + a(2 + l)^{2} + b(2 + l) + c;\)
\(y' = - 3x^{2} + 2ax + b,\)

Уравнения касательных:

\(y = y'(2 - l)\left( x - (2 - l) \right) + y(2 - l),\)
\(y = y'(2 + l)\left( x - (2 + l) \right) + y(2 + l);\)

Т.к. касательные проходят через точки \((0;\ 2)\) и \((0;\ 6)\) соответственно, то

\(2 = y'(2 - l)\left( 0 - (2 - l) \right) + y(2 - l),\)
\(6 = y'(2 + l)\left( 0 - (2 + l) \right) + y(2 + l);\)

Касательные параллельны при

\(y'(2 - l) = y'(2 + l),\)
\(\begin{cases} y = - (2 - l)^{3} + a(2 - l)^{2} + b(2 - l) + c \\ y = - (2 + l)^{3} + a(2 + l)^{2} + b(2 + l) + c \\ 2 = y'(2 - l)\left( 0 - (2 - l) \right) + y(2 - l) \\ 6 = y'(2 + l)\left( 0 - (2 + l) \right) + y(2 + l) \end{cases},\)
\(\begin{cases} y = - (2 - l)^{3} + a(2 - l)^{2} + b(2 - l) + c \\ y = - (2 + l)^{3} + a(2 + l)^{2} + b(2 + l) + c \\ 2 - c = - \left(-3(2 - l)^{2} + 2a(2 - l) + b \right)(2 - l) - {} \\ \qquad {} - (2 - l)^{3} + a(2 - l)^{2} + b(2 - l) \\ 6 - c = - \left(-3(2 + l)^{2} + 2a(2 + l) + b \right)(2 + l) - {} \\ \qquad {} - (2 + l)^{3} + a(2 + l)^{2} + b(2 + l) \end{cases},\)
\(y'(2 - l) = y'(2 + l) = - 3l^{2} + 12 + b,\)
\(a = 6;\)
\(y(2 - l) = y(2 + l),\)
\(b = l^{2} - 12,\)
\(y'(2 - l) = y'(2 + l) = - 3l^{2} + 12 + l^{2} - 12 = - 2l^{2},\)
\(2 = 2l^{2}(2 - l) + y_{1},\)
\(6 = 2l^{2}(2 + l) + y_{1},\)
\(6 - 2 = 4l^{3},\)
\(l = 1\) (если бы через \((0;\ 6)\) проходила касательная в точке \(A\), то \(4l^{3} = -4\), \(l < 0\));
\(b = - 11;\)
\(y_{1} = 2 - 2 \cdot 1^{2} \cdot (2 - 1) = 0,\)
\(y(1) = - 1 + 6 - 11 + c = 0,\)
\(c = 6.\)