Страница 427 номер 1578, ГДЗ по алгебре за 10-11 класс Алимов - ответы и решение

\(\dfrac{\sqrt{3x^{3} - 22x^{2} + 40x}}{x - 4} \geqslant 3x - 10\)

Область допустимых значений:

\(\begin{cases} 3x^{3} - 22x^{2} + 40x \geqslant 0 \\ x - 4 \neq 0 \end{cases}, \begin{cases} x(x - 4)(3x - 10) \geqslant 0 \\ x \neq 4 \end{cases},\)
\(3x^{2} - 22x + 40 = 0,\)
\(x_{1{,}2} = \dfrac{22 \pm \sqrt{484 - 480}}{6},\)
\(x_{1} = 4, x_{2} = \dfrac{10}{3};\)
\(\begin{cases} x \in \left[ 0;\frac{10}{3} \right] \cup [ 4; + \infty) \\ x \neq 4 \end{cases}, x \in \left[ 0;\dfrac{10}{3} \right] \cup (4; + \infty);\)

а) \(x > 4\):
\(x - 4 > 0, 3x - 10 > 0,\)
\(\sqrt{3x^{3} - 22x^{2} + 40x} \geqslant (3x - 10)(x - 4),\)
\(3x^{3} - 22x^{2} + 40x \geqslant (3x - 10)^{2}(x - 4)^{2},\)
\(x(x - 4)(3x - 10) - (3x - 10)^{2}(x - 4)^{2} \geqslant 0,\)
\((x - 4)(3x - 10)\left( x - 3x^{2} + 22x - 40 \right) \geqslant 0,\)
\((x - 4)(3x - 10)\left(-3x^{2} + 23x - 40 \right) \geqslant 0,\)
\(3x^{2} - 23x + 40 = 0,\)
\(x_{1{,}2} = \dfrac{23 \pm \sqrt{529 - 480}}{6},\)
\(x_{1} = 5, x_{2} = \dfrac{8}{3};\)
\(\left( 3x^{2} - 22x + 40 \right)\left(-3x^{2} + 23x - 40 \right) \geqslant 0,\)
\(4 < x \leqslant 5;\)

б) \(0 \leqslant x \leqslant \frac{10}{3}\):
\(x - 4 < 0, 3x - 10 \leqslant 0,\)
\(\sqrt{3x^{3} - 22x^{2} + 40x} \leqslant (3x - 10)(x - 4),\)
\(3x^{3} - 22x^{2} + 40x \leqslant (3x - 10)^{2}(x - 4)^{2},\)
\(\left( 3x^{2} - 22x + 40 \right)\left(-3x^{2} + 23x - 40 \right) \leqslant 0,\)
\(0 \leqslant x \leqslant \dfrac{8}{3}, x = \dfrac{10}{3}.\)

Ответ: \(0 \leqslant x \leqslant \frac{8}{3}\), \(x = \frac{10}{3}\), \(4 < x \leqslant 5\).