Страница 427 номер 1571, ГДЗ по алгебре за 10-11 класс Алимов - ответы и решение

1) \(\begin{cases} x^{y} = y^{x} \\ x^{3} = y^{2} \end{cases}\)

Область определения: \(x,y > 0\);

\(\begin{cases} x^{y} = y^{x} \\ x = y^{\frac{2}{3}} \end{cases},\)
\(\begin{cases} \left( y^{\frac{2}{3}} \right)^{y} = y^{y^{\frac{2}{3}}} \\ x = y^{\frac{2}{3}} \end{cases},\)

При \(y \neq 1\):

\(y^{\frac{2}{3}} - \dfrac{2}{3}y = 0,\)
\(y^{\frac{2}{3}}\left( 1 - \dfrac{2}{3}y^{\frac{1}{3}} \right) = 0,\)
\(y = 0\) – не входит в область определения;
\(y = \left( \dfrac{3}{2} \right)^{3},\)
\(x = \left( \dfrac{3}{2} \right)^{2};\)

При \(y = 1\): \(x = 1^{\frac{2}{3}} = 1\), \((1;\ 1)\) также является решением.

Ответ: \(\left( \left( \frac{3}{2} \right)^{2};\left( \frac{3}{2} \right)^{3} \right)\), \((1;\ 1)\);

2) \(\begin{cases} x^{\sqrt{y}} = y \\ y^{\sqrt{y}} = x^{4} \end{cases}\)
\(\begin{cases} y^{\frac{1}{4}y} = y \\ x = y^{\frac{1}{4}\sqrt{y}} \end{cases},\)

При \(y \neq 1\):

\(\dfrac{1}{4}y = 1,\)
\(y = 4,\)
\(x = 4^{\frac{1}{4}\sqrt{4}} = 2;\)

При \(y = 1\): \(x = 1^{\frac{1}{4}} = 1\), \((1;\ 1)\) также является решением;

Ответ: \((1;\ 1)\), \((2;\ 4)\);

3) \(\begin{cases} x - y = - \frac{1}{3} \\ \cos^{2}{\pi x} - \sin^{2}{\pi y} = \frac{1}{2} \end{cases}\)
\(\begin{cases} x = y - \frac{1}{3} \\ \cos^{2}{\pi\left( y - \frac{1}{3} \right)} - \sin^{2}{\pi y} = \frac{1}{2} \end{cases},\)
\(\left( \dfrac{1}{2}\cos{\pi y} + \dfrac{\sqrt{3}}{2}\sin{\pi y} \right)^{2} - \sin^{2}{\pi y} = \dfrac{1}{2},\)
\(\dfrac{1}{4}\cos^{2}{\pi y} + \dfrac{\sqrt{3}}{2}\cos{\pi y}\sin{\pi y} + \dfrac{3}{4}\sin^{2}{\pi y} - \sin^{2}{\pi y} = \dfrac{1}{2},\)
\(\cos^{2}{\pi y} - \sin^{2}{\pi y} + 2\sqrt{3}\cos{\pi y}\sin{\pi y} = 2,\)
\(\cos{2\pi y} + \sqrt{3}\sin{2\pi y} = 2,\)
\(\dfrac{1}{2}\cos{2\pi y} + \dfrac{\sqrt{3}}{2}\sin{2\pi y} = 1,\)
\(\sin\dfrac{\pi}{6}\cos{2\pi y} + \cos\dfrac{\pi}{6}\sin{2\pi y} = 1,\)
\(\sin\left( \dfrac{\pi}{6} + 2\pi y \right) = 1,\)
\(\dfrac{\pi}{6} + 2\pi y = \dfrac{\pi}{2} + 2\pi n,\)
\(2\pi y = \dfrac{\pi}{2} - \dfrac{\pi}{6} + 2\pi n,\)
\(y = \dfrac{1}{6} + n,\)
\(x = \dfrac{1}{6} - \dfrac{1}{3} + n = - \dfrac{1}{6} + n, n \in Z;\)

Ответ: \(\left(-\frac{1}{6} + n;\frac{1}{6} + n \right)\), \(n \in Z\).