Страница 428 номер 1591, ГДЗ по алгебре за 10-11 класс Алимов - ответы и решение
Графику функции \(y = x^3 + ax^2 + bx + c\) принадлежат точки \(A\) и \(B\), симметричные относительно прямой \(x = -2\). Касательные к этому графику в точках \(A\) и \(B\) параллельны между собой. Одна из этих касательных проходит через точку \((0;\ 1)\), а другая — через точку \((0;\ 5)\). Найти значения \(a\), \(b\), \(c\).
\(y = x^{3} + ax^{2} + bx + c,\)
Точки \(A\) и \(B\) имеют координаты \(x_{1} = - 2 - l\) и \(x_{2} = - 2 + l\) соответственно. \(l\) – расстояние от точки до прямой, \(l > 0\).
\(y'(x) = 3x^{2} + 2ax + b,\)
Касательные параллельны:
\(y'\left( x_{1} \right) = y'\left( x_{2} \right),\)
\(3(-2 - l)^{2} + 2a(-2 - l) + b = 3(-2 + l)^{2} + 2a(-2 + l) + b\),
\(24l - 4al = 0,\)
\(a = 6;\)
Уравнения касательных в точках \(A\) и \(B\):
\(5 = \left( 3(2 + l)^{2} + 12(-2 - l) + b \right)(0 + 2 + l) +\)
\(+ (-2 - l)^{3} + 6(2 + l)^{2} + b(-2 - l) + c,\)
\(1 = \left( 3(l - 2)^{2} + 12(l - 2) + b \right)(0 - l + 2) +\)
\(+ (-2 + l)^{3} + 6(-2 + l)^{2} + b(-2 + l) + c;\)
Т.к. точки симметричны относительно прямой \(x = -2\), то
\((-2 - l)^{3} + 6(2 + l)^{2} + b(-2 - l) + c =\)
\(= (l - 2)^{3} + 6(l - 2)^{2} + b(l - 2) + c.\)
\(b = 12 - l^{2},\)
\(y'\left( x_{1} \right) = y'\left( x_{2} \right) = 3(l - 2)^{2} + 12(l - 2) + 12 - l^{2} = 2l^{2},\)
\(5 = 2l^{2}(2 + l) + y\left( x_{1} \right),\)
\(1 = 2l^{2}(2 - l) + y\left( x_{2} \right),\)
\(5 - 1 = 4l^{3},\)
\(l = 1\) (если бы через \((0;\ 5)\) проходила касательная в точке \(B\), то \(4l^{3} = -4\), \(l < 0\));
\(b = 11,\)
\(y\left( x_{2} \right) = y(-1) = 1 - 2 \cdot 1^{2} \cdot (2 - 1) = - 1,\)
\(- 1 + 6 - 11 + c = - 1,\)
\(c = 5.\)
Ответ: \(a = 6\), \(b = 11\), \(c = 5\).
