Страница 255 номер 969, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Мерзляка

1) Имеет с осью абсцисс только одну общую точку, т.е. функция имеет вид \(y = (x - a)^{2} = x^{2} - 2ax + a^{2}\)
\(y = x^{2} + bx + 2 \Rightarrow \begin{cases} - 2a = b \\ a^{2} = 2 \end{cases}\ \Rightarrow \begin{cases} b = \mp 2\sqrt{2} \\ a = \pm \sqrt{2} \end{cases}\)

2) Не имеет с осью абсцисс общих точек, т.е. не имеет корней (при отрицательном дискриминанте)
\(y = x^{2} + bx + 2\)
\(D = b^{2} - 4 \cdot 2 = b^{2} - 8 < 0\)
\(b^{2} - 8 < 0\)
\(\left( b - \sqrt{8} \right)\left( b + \sqrt{8} \right) < 0\)
\(b \in \left( - \sqrt{8};\sqrt{8} \right)\)
\(b \in ( - 2\sqrt{2};\ 2\sqrt{2})\)

3) Пересекает ось абсцисс в точках, расстояние между которыми равно 4?

Пусть \(p,p + 4\) - требуемые точки.

По теореме Виета

\(\begin{cases} p + p + 4 = - b \\ p(p + 4) = 2 \end{cases}\ \Rightarrow \begin{cases} b = - 2p - 4 \\ p^{2} + 4p - 2 = 0 \end{cases}\)
\(p^{2} + 4p - 2 = 0\)
\(\dfrac{D}{4} = 4 + 2 = 6\)
\(p_{1} = - 2 - \sqrt{6} \Rightarrow b = - 2\left( - 2 - \sqrt{6} \right) - 4 = 4 + 2\sqrt{6} - 4 = 2\sqrt{6}\)
\(p_{2} = - 2 + \sqrt{6} \Rightarrow b = - 2\left( - 2 + \sqrt{6} \right) - 4 = 4 - 2\sqrt{6} - 4 = - 2\sqrt{6}\)

Ответ: 1) \(b = \pm 2\sqrt{2}\); 2) \(b \in ( - 2\sqrt{2};\ 2\sqrt{2})\); 3) \(b = - 2\sqrt{6};\ b = 2\sqrt{6}\).