Страница 256 номер 982, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Мерзляка

Отсутствие нулей у квадратичной функции обеспечивается отрицательным дискриминантом

1) \(5x^{2} - x + a > 0\)

Коэффициент при старшей степени \(5 > 0\), ветви направлены вверх

\(D = 1 - 20a < 0\)
\(1 - 20a < 0\)
\(20a > 1\)
\(a > \dfrac{1}{20}\)

2) \(ax^{2} - 10x - 5 < 0\)

Т.к. определяются отрицательные значения, то коэффициент при старшей степени \(a < 0\)

\(\dfrac{D}{4} = 25 + a \cdot 5 = 25 + 5a < 0\)
\(25 + 5a < 0\)
\(5a < - 25\)
\(a < - 5\)

При \(a = 0 \Rightarrow - 10x - 5 < 0 \Rightarrow x > - 0{,}5\), т.е. неравенство выполняется не при всех \(x\).

3) \(ax^{2} - 2(a - 1)x + 4a \leqslant 0\)

Т.к. определяются неположительные значения, то коэффициент при старшей степени \(a < 0\)

Неравенство нестрогое, поэтому подходит и нулевой дискриминант: график касается оси абсцисс

\(\dfrac{D}{4} = (a - 1)^{2} - 4a \cdot a = a^{2} - 2a + 1 - 4a^{2} =\)
\(= - 3a^{2} - 2a + 1 \leqslant 0\)
\(\dfrac{D_{a}}{4} = 1 + 3 = 4\)
\(a_{1} = \dfrac{1 - 2}{- 3} = \dfrac{1}{3};\ a_{2} = \dfrac{1 + 2}{- 3} = - 1\)
\(a \in ( - \infty; - 1] \cup \left[ \dfrac{1}{3}; + \infty \right)\)
\(\left\{ \begin{aligned} & a < 0 \\ & a \in ( - \infty; - 1] \cup \left[ \dfrac{1}{3}; + \infty \right) \end{aligned} \right.\ \Rightarrow a \in ( - \infty; - 1]\)

При \(a = 0 \Rightarrow 2x \leqslant 0 \Rightarrow x \leqslant 0\), т.е. неравенство выполняется не при всех \(x\).

4) \((a - 1)x^{2} - (a + 1)x + a + 1 > 0\)

Здесь \(a - 1 > 0 \Rightarrow a > 1\)

\(D = (a + 1)^{2} - 4(a - 1)(a + 1) =\)
\(= a^{2} + 2a + 1 - 4a^{2} + 4 = - 3a^{2} + 2a + 5 < 0\)
\(\dfrac{D_{a}}{4} = 1 + 3 \cdot 5 = 16\)
\(a_{1} = \dfrac{- 1 - 4}{- 3} = \dfrac{5}{3};\ a_{2} = \dfrac{- 1 + 4}{- 3} = - 1\)
\(- (a + 1)\left( a - \dfrac{5}{3} \right) < 0\)
\(a \in ( - \infty; - 1) \cup \left( \dfrac{5}{3}; + \infty \right)\)
\(\left\{ \begin{aligned} & a > 1 \\ & a \in ( - \infty; - 1) \cup \left( \dfrac{5}{3}; + \infty \right) \end{aligned} \right.\ \Rightarrow a \in \left( \dfrac{5}{3}; + \infty \right)\)

При \(a = 1 \Rightarrow - 2x + 2 > 0 \Rightarrow x < 1\), т.е. неравенство выполняется не при всех \(x\).

Ответ: 1) \(a > \frac{1}{20}\); 2) \(a < - 5\); 3) \(a \in ( - \infty; - 1]\); 4) \(a \in \left( \frac{5}{3}; + \infty \right)\).