Страница 255 номер 972, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Мерзляка
Значение квадратичной функции \(y = ax^2 + bx + c\) в точке \(x = -1\) равно 0, а при \(x = \frac{1}{4}\) функция принимает наименьшее значение, равное \(-\frac{25}{8}\). Найдите коэффициенты \(a\), \(b\) и \(c\).
Наименьшее значение функции находится в вершине параболы.
\(x_{0} = \dfrac{1}{4};\ y_{0} = - \dfrac{25}{8}\)
\(x_{0} = - \dfrac{b}{2a} \Rightarrow b = - 2x_{0}a = - 2 \cdot \dfrac{1}{4}a = - \dfrac{1}{2}a\)
Составим и решим систему уравнений
\(\begin{cases} 0 = a \cdot ( - 1)^{2} + b \cdot ( - 1) + c \\ - \frac{25}{8} = a \cdot \left( \frac{1}{4} \right)^{2} + b \cdot \frac{1}{4} + c \end{cases}\ \Rightarrow \begin{cases} 0 = a - b + c \\ - \frac{25}{8} = a \cdot \frac{1}{16} + b\frac{1}{4} + c \end{cases}\ \Rightarrow\)
\(\Rightarrow \begin{cases} 0 = a + \frac{1}{2}a + c \\ - \frac{25}{8} = a \cdot \frac{1}{16} - \frac{1}{2}a \cdot \frac{1}{4} + c \end{cases}\ \Rightarrow \begin{cases} c = - \frac{3}{2}a \\ - \frac{25}{8} = - \frac{1}{16}a - \frac{3}{2}a \end{cases}\)
\(- \dfrac{25}{8} = - \dfrac{1}{16}a - \dfrac{3}{2}a\)
\(- \dfrac{25}{8} = - \dfrac{1}{16}a - \dfrac{24}{16}a\)
\(- \dfrac{25}{8} = - \dfrac{25}{16}a\)
\(a = - \dfrac{25}{8} \cdot \left( - \dfrac{16}{25} \right) = 2\)
\(b = - \dfrac{1}{2}a = - \dfrac{1}{2} \cdot 2 = - 1\)
\(c = - \dfrac{3}{2}a = - \dfrac{3}{2} \cdot 2 = - 3\)
Ответ: \(a = 2;\ b = - 1;\ c = - 3\).
