Страница 254 номер 966, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Мерзляка
Найдите значения \(b\) и \(c\), при которых функция \(y = x^2 + bx + c\): 1) имеет единственный нуль в точке \(x = -3\); 2) принимает наименьшее значение, равное 4, в точке \(x = 0\); 3) имеет нули в точках \(x = -2\) и \(x = 5\).
1) Имеет единственный нуль в точке \(x = - 3\)
\(y = x^{2} + bx + c\)
Если функция имеет один нуль, он же является корнем квадратного трёхчлена, то вершина параболы находится в точке \(x = x_{0} = - 3\)
Абсцисса вершины \(x_{0} = - \frac{b}{2a} \Rightarrow b = - 2ax_{0} = - 2 \cdot 1 \cdot ( - 3) = 6\)
\(x = - 3,\ y = 0 \Rightarrow x^{2} + 6x + c = 0 \Rightarrow\)
\(\Rightarrow c = - ( - 3)^{2} - 6 \cdot ( - 3) = - 9 + 18 = 9\)
2) Принимает наименьшее значение, равное 4, в точке \(x = 0\)
Функция, график которой — парабола ветвями вверх, имеет наименьшее значение в вершине, то есть \(x_{0} = 0,y_{0} = 4\)
\(x_{0} = - \dfrac{b}{2a} \Rightarrow b = - 2ax_{0} = - 2 \cdot 1 \cdot 0 = 0\)
\(4 = 0^{2} + 0 + c \Rightarrow c = 4\)
3) Имеет нули в точках \(x = - 2\) и \(x = 5\)
\(\begin{cases} 0 = ( - 2)^{2} + b \cdot ( - 2) + c \\ 0 = 5^{2} + b \cdot 5 + c \end{cases}\ \Rightarrow \begin{cases} 0 = 4 - 2b + c \\ 0 = 25 + 5b + c \end{cases}\ \Rightarrow\)
\(\Rightarrow \begin{cases} c = 2b - 4 \\ c = - 5b - 25 \end{cases}\ \Rightarrow 0 = 7b + 21 \Rightarrow b = - 3\)
\(c = 2 \cdot ( - 3) - 4 = - 10\)
Ответ: 1) \(b = 6;\ c = 9\); 2) \(b = 0;\ c = 4\); 3) \(b = - 3;\ c = - 10\).
