Страница 255 номер 975, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Мерзляка

\(x^{2} + ax + a - 2 = 0\)
\(D = a^{2} - 4(a - 2) = a^{2} - 4a + 8 = (a - 2)^{2} + 4\)
\(D > 0\) при любом \(a\) – уравнение имеет два корня

Используем теорему Виета

\(\begin{cases} x_{1} + x_{2} = - a \\ x_{1}x_{2} = a - 2 \end{cases}\ \Rightarrow \begin{cases} \left( x_{1} + x_{2} \right)^{2} = a^{2} \\ 2x_{1}x_{2} = 2a - 4 \end{cases}\ \Rightarrow \begin{cases} x_{1}^{2} + 2x_{1}x_{2} + x_{2}^{2} = a^{2} \\ 2x_{1}x_{2} = 2a - 4 \end{cases}\)
\(x_{1}^{2} + 2x_{1}x_{2} + x_{2}^{2} = a^{2}\)
\(x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = a^{2} - 2x_{1}x_{2}\)
\(x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = a^{2} - (2a - 4)\)
\(x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = a^{2} - 2a + 4\) – квадратный трёхчлен относительно \(a\), ветви параболы направлены вверх
\(a_{0} = - \frac{- 2}{2} = 1\) – при таком значении \(a\) сумма квадратов корней принимает наименьшее значение \(x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = 1 - 2 + 4 = 3\)

Ответ: При \(a = 1\).