Страница 256 номер 981, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Мерзляка

Квадратное уравнение имеет два различных корня, если его дискриминант положителен.

1) \(2x^{2} + ax + a - 2 = 0\)
\(D = a^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (a - 2) = a^{2} - 8a + 16 = (a - 4)^{2} > 0\)
\(a \in ( - \infty;\ 4) \cup (4; + \infty)\)

2) \((2a - 1)x^{2} + (a - 3)x + 1 = 0\)

Уравнение является квадратным при \(2a - 1 \neq 0 \Rightarrow a \neq \frac{1}{2}\)

При \(a = \frac{1}{2} \Rightarrow - 2{,}5x + 1 = 0\), т.е. уравнение линейное и имеет один корень.

\(D = (a - 3)^{2} - 4(2a - 1) = a^{2} - 6a + 9 - 8a + 4 =\)
\(= a^{2} - 14a + 13 = (a - 1)(a - 13) > 0\)
\(a \in ( - \infty;\ 1) \cup (13; + \infty)\)
\(\begin{cases} a \in \left( - \infty;\frac{1}{2} \right) \cup \left( \frac{1}{2}; + \infty \right) \\ a \in ( - \infty;\ 1) \cup (13; + \infty) \end{cases}\ \Rightarrow a \in \left( - \infty;\dfrac{1}{2} \right) \cup \left( \dfrac{1}{2};\ 1 \right) \cup (13; + \infty)\)

3) \(ax^{2} - (3a + 1)x + a = 0\)

Уравнение является квадратным при \(a \neq 0\).

При \(a = 0 \Rightarrow - x = 0\), т.е. уравнение линейное и имеет один корень.

\(D = (3a + 1)^{2} - 4a^{2} = 9a^{2} + 6a + 1 - 4a^{2} > 0\)
\(5a^{2} + 6a + 1 > 0\)
\(5\left( a + \dfrac{1}{5} \right)(a + 1) > 0\)
\(a \in ( - \infty; - 1) \cup ( - \dfrac{1}{5}; + \infty)\)
\(\left\{ \begin{aligned} & a \in ( - \infty;\ 0) \cup (0; + \infty) \\ & a \in ( - \infty; - 1) \cup \left( - \dfrac{1}{5}; + \infty \right) \end{aligned} \right.\ \Rightarrow a \in ( - \infty; - 1) \cup \left( - \dfrac{1}{5};\ 0 \right) \cup (0; + \infty)\)

Ответ: 1) \(a \in ( - \infty;\ 4) \cup (4; + \infty)\); 2) \(a \in \left( - \infty;\frac{1}{2} \right) \cup \left( \frac{1}{2};\ 1 \right) \cup (13; + \infty)\); 3) \(a \in ( - \infty; - 1) \cup \left( - \frac{1}{5};\ 0 \right) \cup (0; + \infty)\).