Страница 258 номер 989, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Мерзляка

Пусть \(a,b\) - катеты прямоугольного треугольника.

Гипотенуза \(a^{2} + b^{2} = 41^{2}\)

Площадь \(\frac{1}{2}ab = 180\)

Составим и решим систему уравнений

\(\begin{cases} a^{2} + b^{2} = 41^{2} \\ \frac{1}{2}ab = 180 \end{cases}\ \Rightarrow \left\{ \begin{aligned} & a^{2} + \dfrac{360^{2}}{a^{2}} = 41^{2} \\ & b = \dfrac{360}{a} \end{aligned} \right.\ \Rightarrow \begin{cases} a^{4} - 41^{2} \cdot a^{2} + 360^{2} = 0 \\ b = \frac{360}{a} \end{cases}\)
\(a^{4} - 41^{2} \cdot a^{2} + 360^{2} = 0\)
\(D = 41^{4} - 4 \cdot 360^{2} = 2825761 - 518400 = 2307361 = 1519^{2}\)
\(a^{2} = \dfrac{41^{2} - 1519}{2} = \dfrac{1681 - 1519}{2} = 81 \Rightarrow a_{1} = 9;\ b_{1} = 40\)
\(a^{2} = \dfrac{41^{2} + 1519}{2} = \dfrac{3200}{2} = 1600 \Rightarrow a_{2} = 40;\ b_{2} = 9\)

В решении учитывается, что стороны не могут иметь отрицательные значения.

Ответ: У прямоугольного треугольника катеты равны 9 и 40 см.