Вопросы после параграфа §5 на странице 34, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Мерзляка

Неравенство, равносильное данному, получают с помощью трёх правил.

1. Любое слагаемое можно перенести из одной части неравенства в другую, изменив его знак на противоположный, — получится неравенство, равносильное данному.
2. Обе части неравенства можно умножить (разделить) на одно и то же положительное число — получится неравенство, равносильное данному.
3. Обе части неравенства можно умножить (разделить) на одно и то же отрицательное число, изменив знак неравенства на противоположный, — получится неравенство, равносильное данному.

Например, решим неравенство \(\frac{x}{3} + 2 > x - 4\). Умножим обе его части на положительное число 3 (правило 2), перенесём слагаемые \(3x\) и 6 из одной части в другую с противоположными знаками и приведём подобные члены (правило 1), затем разделим обе части на отрицательное число \(-2\), изменив знак неравенства на противоположный (правило 3):

\(\dfrac{x}{3} + 2 > x - 4; \qquad | \cdot 3\)
\(x + 6 > 3x - 12;\)
\(x - 3x > -12 - 6;\)
\(-2x > -18; \qquad | : (-2)\)
\(x < 9.\)

Каждое неравенство этой цепочки равносильно предыдущему, поэтому множество решений данного неравенства — промежуток \((-\infty;\ 9)\).

Ответ: перенос слагаемого из одной части неравенства в другую с заменой его знака на противоположный; умножение (деление) обеих частей неравенства на одно и то же положительное число; умножение (деление) обеих частей неравенства на одно и то же отрицательное число с заменой знака неравенства на противоположный.

Линейными неравенствами с одной переменной называют неравенства вида \(ax > b\), \(ax < b\), \(ax \geqslant b\), \(ax \leqslant b\), где \(x\) — переменная, \(a\) и \(b\) — некоторые числа.

Например, линейными являются неравенства \(4x > -12\) (здесь \(a = 4\), \(b = -12\)), \(-x \leqslant 7\) (здесь \(a = -1\), \(b = 7\)) и \(0x < 5\) (здесь \(a = 0\), \(b = 5\)). К линейному сводится и неравенство \(3(x - 2) \geqslant x + 4\): раскрыв скобки, перенеся слагаемые и приведя подобные члены, получим равносильное ему линейное неравенство \(2x \geqslant 10\).

Ответ: неравенства вида \(ax > b\), \(ax < b\), \(ax \geqslant b\), \(ax \leqslant b\), где \(x\) — переменная, \(a\) и \(b\) — некоторые числа.

Множество решений каждого из этих неравенств называют числовым промежутком. На координатной прямой его изображают дугой над прямой, проведённой от точки \(a\). Если знак неравенства строгий, число \(a\) промежутку не принадлежит и точку \(a\) изображают «выколотой» — пустым кружком; если знак нестрогий, число \(a\) промежутку принадлежит и точку \(a\) изображают закрашенной.

Множество решений неравенства \(x > a\) записывают так: \((a;\ +\infty)\), читают: «промежуток от \(a\) до плюс бесконечности». Точки координатной прямой, изображающие решения, лежат справа от точки \(a\) и образуют луч, у которого «выколото» начало.

Множество решений неравенства \(x < a\) записывают так: \((-\infty;\ a)\), читают: «промежуток от минус бесконечности до \(a\)». Точки координатной прямой, изображающие решения, лежат слева от точки \(a\) и образуют луч, у которого «выколото» начало.

Множество решений неравенства \(x \geqslant a\) записывают так: \([a;\ +\infty)\), читают: «промежуток от \(a\) до плюс бесконечности, включая \(a\)». Точки координатной прямой, изображающие решения, образуют луч с началом в точке \(a\), направленный вправо.

Множество решений неравенства \(x \leqslant a\) записывают так: \((-\infty;\ a]\), читают: «промежуток от минус бесконечности до \(a\), включая \(a\)». Точки координатной прямой, изображающие решения, образуют луч с началом в точке \(a\), направленный влево.

Например, множество решений неравенства \(x \leqslant 3\) — промежуток \((-\infty;\ 3]\), его читают: «промежуток от минус бесконечности до 3, включая 3».

Ответ: \(x > a\) — промежуток \((a;\ +\infty)\), «промежуток от \(a\) до плюс бесконечности»; \(x < a\) — \((-\infty;\ a)\), «промежуток от минус бесконечности до \(a\)»; \(x \geqslant a\) — \([a;\ +\infty)\), «промежуток от \(a\) до плюс бесконечности, включая \(a\)»; \(x \leqslant a\) — \((-\infty;\ a]\), «промежуток от минус бесконечности до \(a\), включая \(a\)». Каждое из этих множеств называют числовым промежутком; точки координатной прямой, которые его изображают, образуют луч с началом в точке \(a\) (при строгом знаке начало луча «выколото»). Изображают промежуток дугой над координатной прямой: от точки \(a\) вправо — для \(x > a\) и \(x \geqslant a\), влево — для \(x < a\) и \(x \leqslant a\); при строгом знаке точка \(a\) выколота (пустой кружок), при нестрогом — закрашена.

Если решением неравенства является любое число, то множеством его решений является множество всех действительных чисел. Этот промежуток записывают так: \((-\infty;\ +\infty)\), читают: «промежуток от минус бесконечности до плюс бесконечности» и называют числовой прямой.

Например, решим неравенство \(2(x + 3) > 2x + 1\):

\(2x + 6 > 2x + 1;\)
\(2x - 2x > 1 - 6;\)
\(0x > -5.\)

При любом значении \(x\) последнее неравенство обращается в верное числовое неравенство \(0 > -5\). Значит, решением данного неравенства является любое число, а множество его решений — промежуток \((-\infty;\ +\infty)\).

Ответ: \((-\infty;\ +\infty)\); читают: «промежуток от минус бесконечности до плюс бесконечности»; называют числовой прямой.