Страница 39 номер 159, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Мерзляка
Найдите все значения \(a\), при которых имеет два различных действительных корня уравнение: 1) \(ax^2 + 2x - 1 = 0\); 2) \((a + 1)x^2 - (2a - 3)x + a = 0\); 3) \((a - 3)x^2 - 2(a - 5)x + a - 2 = 0\).
Уравнение является квадратным при ненулевом коэффициенте при \(x^{2}\).
Квадратное уравнение имеет два различных корня, если его дискриминант положителен.
1) \(ax^{2} + 2x - 1 = 0\)
\(\dfrac{D}{4} = 1 + a > 0\)
\(1 + a > 0 \Rightarrow a > - 1\)
\(\begin{cases} a > - 1 \\ a \neq 0 \end{cases}\ \Rightarrow - 1 < a < 0\ \text{или}\ a > 0\)
2) \((a + 1)x^{2} - (2a - 3)x + a = 0\)
\(D = (2a - 3)^{2} - 4a(a + 1) > 0\)
\(4a^{2} - 12a + 9 - 4a^{2} - 4a > 0\)
\(- 16a + 9 > 0\)
\(- 16a > - 9\)
\(a < \dfrac{9}{16}\)
\(\begin{cases} a < \frac{9}{16} \\ a + 1 \neq 0 \end{cases}\ \Rightarrow \begin{cases} a < \frac{9}{16} \\ a \neq - 1 \end{cases}\ \Rightarrow a < - 1\ \text{или}\ - 1 < a < \dfrac{9}{16}\)
3) \((a - 3)x^{2} - 2(a - 5)x + a - 2 = 0\)
\(\dfrac{D}{4} = (a - 5)^{2} - (a - 3)(a - 2) > 0\)
\(a^{2} - 10a + 25 - a^{2} + 5a - 6 > 0\)
\(- 5a + 19 > 0\)
\(- 5a > - 19\)
\(a < \dfrac{19}{5}\)
\(\begin{cases} a < \frac{19}{5} \\ a - 3 \neq 0 \end{cases}\ \Rightarrow \begin{cases} a < 3\frac{4}{5} \\ a \neq 3 \end{cases}\ \Rightarrow a < 3\ \text{или}\ 3 < a < 3\dfrac{4}{5}\)
Ответ: 1) \(- 1 < a < 0\) или \(a > 0\); 2) \(a < - 1\) или \(- 1 < a < \frac{9}{16}\); 3) \(a < 3\) или \(3 < a < 3\frac{4}{5}\).
