Вопросы после параграфа §6 на странице 44, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Мерзляка

Областью определения выражения называют множество всех значений переменной, при которых выражение имеет смысл, т. е. множество допустимых значений переменной.

Например, выражение \(\sqrt{2x - 6}\) имеет смысл, когда подкоренное выражение неотрицательно:

\(2x - 6 \geqslant 0;\)
\(2x \geqslant 6; \qquad | : 2\)
\(x \geqslant 3.\)

Область определения выражения \(\sqrt{2x - 6}\) — промежуток \([3;\ +\infty)\). Выражение \(\frac{1}{x - 4}\) имеет смысл при всех значениях \(x\), кроме \(x = 4\): при \(x = 4\) знаменатель дроби равен нулю.

Ответ: множество всех значений переменной, при которых выражение имеет смысл.

Если требуется найти все общие решения двух или нескольких неравенств, то говорят, что надо решить систему неравенств.

Например, выражение \(\sqrt{x + 1} + \sqrt{4 - x}\) имеет смысл только при тех значениях \(x\), при которых оба подкоренных выражения неотрицательны, т. е. одновременно выполняются неравенства \(x + 1 \geqslant 0\) и \(4 - x \geqslant 0\). Значит, чтобы найти область определения этого выражения, надо найти все общие решения этих двух неравенств — решить систему неравенств.

Ответ: когда требуется найти все общие решения двух или нескольких неравенств.

Систему неравенств, как и систему уравнений, записывают с помощью фигурной скобки. Например, чтобы найти область определения выражения \(\sqrt{x + 1} + \sqrt{4 - x}\), надо решить систему неравенств

\(\begin{cases} x + 1 \geqslant 0, \\ 4 - x \geqslant 0. \end{cases}\)

Ответ: с помощью фигурной скобки.

Решением системы неравенств с одной переменной называют значение переменной, которое обращает каждое неравенство системы в верное числовое неравенство.

Например, число 2 является решением системы \(\begin{cases} x + 1 \geqslant 0, \\ 4 - x \geqslant 0, \end{cases}\) так как оба числовых неравенства \(2 + 1 \geqslant 0\) и \(4 - 2 \geqslant 0\) верны. Число 5 решением этой системы не является: неравенство \(5 + 1 \geqslant 0\) верно, но неравенство \(4 - 5 \geqslant 0\), т. е. \(-1 \geqslant 0\), неверно.

Ответ: значение переменной, которое обращает каждое неравенство системы в верное числовое неравенство.

Решить систему неравенств означает найти все её решения или доказать, что решений нет. Все решения системы образуют множество её решений, поэтому решить систему — значит найти множество её решений.

Например, система \(\begin{cases} x > 4, \\ x < 1 \end{cases}\) решений не имеет: ни одно число не может быть одновременно больше 4 и меньше 1, т. е. множество её решений — пустое множество \(\varnothing\). Множество решений системы \(\begin{cases} x \geqslant 3, \\ x \leqslant 3 \end{cases}\) состоит из единственного числа 3.

Ответ: найти все её решения или доказать, что решений нет.

Множество решений системы неравенств является пересечением множеств решений неравенств, составляющих систему. Поэтому, чтобы решить систему, надо найти пересечение множеств решений каждого из её неравенств.

Например, решим систему неравенств, которая задаёт область определения выражения \(\sqrt{x + 1} + \sqrt{4 - x}\). Перенесём в каждом неравенстве слагаемое без переменной в правую часть, затем умножим обе части второго неравенства на \(-1\), изменив знак неравенства на противоположный:

\(\begin{cases} x + 1 \geqslant 0, \\ 4 - x \geqslant 0; \end{cases}\)
\(\begin{cases} x \geqslant -1, \\ -x \geqslant -4; & | \cdot (-1) \end{cases}\)
\(\begin{cases} x \geqslant -1, \\ x \leqslant 4. \end{cases}\)

Множество решений первого неравенства — промежуток \([-1;\ +\infty)\), второго — промежуток \((-\infty;\ 4]\). Изобразим эти промежутки на координатной прямой:

Общая часть этих промежутков — промежуток \([-1;\ 4]\), т. е. \([-1;\ +\infty) \cap (-\infty;\ 4] = [-1;\ 4]\). Значит, множество решений системы — промежуток \([-1;\ 4]\); он же является областью определения выражения \(\sqrt{x + 1} + \sqrt{4 - x}\).

Ответ: пересечение множеств решений неравенств, составляющих систему.

Числа \(a\) и \(b\) здесь таковы, что \(a < b\). Промежуток, являющийся множеством решений каждого из этих неравенств, изображают дугой над координатной прямой, соединяющей точки \(a\) и \(b\). Конец промежутка, который ему принадлежит, изображают закрашенной точкой, а конец, который ему не принадлежит, — «выколотой» точкой (пустым кружком).

Множество решений неравенства \(a \leqslant x \leqslant b\) записывают так: \([a;\ b]\), читают: «промежуток от \(a\) до \(b\), включая \(a\) и \(b\)». Обе точки \(a\) и \(b\) закрашены; точки координатной прямой, изображающие решения, образуют отрезок.

Множество решений неравенства \(a < x < b\) записывают так: \((a;\ b)\), читают: «промежуток от \(a\) до \(b\)». Обе точки \(a\) и \(b\) выколоты.

Множество решений неравенства \(a < x \leqslant b\) записывают так: \((a;\ b]\), читают: «промежуток от \(a\) до \(b\), включая \(b\)». Точка \(a\) выколота, точка \(b\) закрашена.

Множество решений неравенства \(a \leqslant x < b\) записывают так: \([a;\ b)\), читают: «промежуток от \(a\) до \(b\), включая \(a\)». Точка \(a\) закрашена, точка \(b\) выколота.

Например, множество решений двойного неравенства \(-2 < x \leqslant 5\) — промежуток \((-2;\ 5]\), его читают: «промежуток от \(-2\) до 5, включая 5».

Ответ: \(a \leqslant x \leqslant b\) — промежуток \([a;\ b]\), «промежуток от \(a\) до \(b\), включая \(a\) и \(b\)»; \(a < x < b\) — \((a;\ b)\), «промежуток от \(a\) до \(b\)»; \(a < x \leqslant b\) — \((a;\ b]\), «промежуток от \(a\) до \(b\), включая \(b\)»; \(a \leqslant x < b\) — \([a;\ b)\), «промежуток от \(a\) до \(b\), включая \(a\)». Изображают промежуток дугой над координатной прямой от точки \(a\) до точки \(b\); конец, который принадлежит промежутку, — закрашенная точка, конец, который не принадлежит, — выколотая точка (пустой кружок).