Страница 40 номер 169, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Мерзляка
Трёхзначное число \(n\) таково, что числа \(n - 6\), \(n - 7\) и \(n - 8\) кратны числам 7, 8 и 9 соответственно. Найдите число \(n\).
Каждое число можно представить следующим образом:
\(\begin{cases} n - 6 = n + 1 - 7 \\ n - 7 = n + 1 - 8 \\ n - 8 = n + 1 - 9 \end{cases}\ \Rightarrow \begin{cases} \frac{n + 1 - 7}{7} \\ \frac{n + 1 - 8}{8} \\ \frac{n + 1 - 9}{9} \end{cases}\ \Rightarrow \begin{cases} \frac{n + 1}{7} - 1 \\ \frac{n + 1}{8} - 1 \\ \frac{n + 1}{9} - 1 \end{cases}\ \Rightarrow\) число \(n + 1\) делится и на 7, и на 8, и на 9, а так как эти числа попарно взаимно простые, то и на \(7 \cdot 8 \cdot 9 = 504\). Число \(n\) трёхзначное, поэтому \(n + 1 \leqslant 1000 < 2 \cdot 504\), т.е. имеем \(n + 1 = 504 \Rightarrow n = 503\).
Проверка:
\(\begin{cases} 503 - 6 = 497;\quad 497:7 = 71 \\ 503 - 7 = 496;\quad 496:8 = 62 \\ 503 - 8 = 495;\quad 495:9 = 55 \end{cases}\)
Ответ: Искомое число равно 503.
