Страница 38 номер 157, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Мерзляка

1) \(4x + a = 2\) имеет положительный корень;
\(4x + a = 2 \Rightarrow x = \dfrac{2 - a}{4}\)
\(x > 0 \Rightarrow \dfrac{2 - a}{4} > 0 \Rightarrow 2 - a > 0 \Rightarrow a < 2\)

2) \((a + 6)x = 3\) имеет отрицательный корень;
\((a + 6)x = 3 \Rightarrow x = \dfrac{3}{a + 6}\)
\(x < 0 \Rightarrow \dfrac{3}{a + 6} < 0 \Rightarrow a + 6 < 0 \Rightarrow a < - 6\)

3) \((a - 1)x = a^{2} - 1\) имеет единственный положительный корень?
\(a = 1 \Rightarrow 0 \cdot x = 0 \Rightarrow x\) – любое число, т.е. корень не единственный.
\((a - 1)x = a^{2} - 1 \Rightarrow x = \dfrac{a^{2} - 1}{a - 1}\)
\(x > 0 \Rightarrow \dfrac{a^{2} - 1}{a - 1} > 0 \Rightarrow \begin{cases} \frac{(a - 1)(a + 1)}{a - 1} > 0 \\ a - 1 \neq 0 \end{cases}\ \Rightarrow \begin{cases} a + 1 > 0 \\ a \neq 1 \end{cases}\ \Rightarrow\)
\(\Rightarrow - 1 < a < 1\ \text{или}\ a > 1\)

Ответ: 1) \(a < 2\); 2) \(a < - 6\); 3) \(- 1 < a < 1\) или \(a > 1\).