Страница 97 номер 251, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Алимова с ответами и решением
Доказать, что для арифметической прогрессии справедливо равенство \(a_n = \dfrac{a_{n+k} + a_{n-k}}{2},\ n > k.\) Найти \(a_{20}\), если \(a_{10} + a_{30} = 120\).
По формуле \(n\)-го члена арифметической прогрессии:
\(a_{n + k} = a_{1} + (n + k - 1) \cdot d\)
\(a_{n - k} = a_{1} + (n - k - 1) \cdot d\)
Тогда мы имеем:
\(\dfrac{a_{n + k} + a_{n - k}}{2} = \dfrac{a_{1} + \left(n + k - 1\right) \cdot d + a_{1} + \left(n - k - 1\right) \cdot d}{2} =\)
\(= \dfrac{2a_{1} + \left(n + k - 1 + n - k - 1\right) \cdot d}{2} = \dfrac{2a_{1} + (2n - 2)d}{2} =\)
\(= \frac{2a_{1} + 2\left(n - 1\right)d}{2} = \frac{2(a_{1} + \left(n - 1\right)d)}{2} = a_{1} + \left(n - 1\right)d = a_{n}\), что и требовалось доказать
\(a_{20} = \dfrac{a_{20 + 10} + a_{20 - 10}}{2} = \dfrac{a_{30} + a_{10}}{2} = \dfrac{120}{2} = 60\)
Ответ: \(a_{20} = 60\)
