Проверь себя на странице 63, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Алимова

1) \(3^{-5} : 3^{-7} - 2^{-2} \cdot 2^{4} + \left(\left(\frac{2}{3}\right)^{-1}\right)^{3}\)

Упростим исходное числовое выражение, воспользовавшись свойствами степени с целым показателем

\(3^{-5} : 3^{-7} - 2^{-2} \cdot 2^{4} + \left(\left(\dfrac{2}{3}\right)^{-1}\right)^{3} =\)
\(= 3^{-5 + 7} - 2^{-2 + 4} + \left(\dfrac{1}{\left(\dfrac{2}{3}\right)^{1}}\right)^{3} = 3^{2} - 2^{2} + \left(\dfrac{3}{2}\right)^{3} = 9 - 4 +\)
\(+\dfrac{3^{3}}{2^{3}} = 5 + \dfrac{27}{8} = \dfrac{40}{8} + \dfrac{27}{8} = \dfrac{67}{8} = 8\dfrac{3}{8}\)

Ответ: \(8\frac{3}{8}\)

2)

\(\sqrt[5]{3^{10} \cdot 32} - \dfrac{\sqrt[3]{48}}{\sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[3]{3}}\)

Упростим исходное числовое выражение, воспользовавшись свойствами арифметического корня и степени с целым показателем

\(\sqrt[5]{3^{10} \cdot 32} - \dfrac{\sqrt[3]{48}}{\sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[3]{3}} = \sqrt[5]{3^{10}} \cdot \sqrt[5]{32} - \dfrac{\sqrt[3]{48}}{\sqrt[3]{2 \cdot 3}} = \sqrt[5]{\left(3^{2}\right)^{5}} \cdot \sqrt[5]{2^{5}} - \sqrt[3]{\dfrac{48}{6}} =\)
\(= 3^{2} \cdot 2 - \sqrt[3]{8} = 18 - \sqrt[3]{2^{3}} = 18 - 2 = 16\)

Ответ: 16

3)

\(25^{\frac{3}{2}} \cdot 25^{-1} + \left(5^{3}\right)^{\frac{2}{3}} : 5^{3} - 48^{\frac{2}{3}} : 6^{\frac{2}{3}}\)

Упростим исходное числовое выражение, воспользовавшись свойствами степени с рациональным и целым показателями

\(25^{\frac{3}{2} - 1} + 5^{3 \cdot \frac{2}{3}} : 5^{3} - \left(\dfrac{48}{6}\right)^{\frac{2}{3}} =\)
\(= 25^{\frac{1}{2}} + 5^{2} : 5^{3} - 8^{\frac{2}{3}} = \sqrt{25} + 5^{2 - 3} - \sqrt[3]{8^{2}} =\)
\(= 5 + 5^{-1} - \sqrt[3]{64} = 5 + \dfrac{1}{5} - \sqrt[3]{4^{3}} = 5 + \dfrac{1}{5} - 4 = \dfrac{25}{5} + \dfrac{1}{5} - \dfrac{20}{5} = 1\dfrac{1}{5}\)

Ответ: \(1\frac{1}{5}\)

\(8600 = 8{,}6 \cdot 10^{3}\)
\(0{,}0078 = 7{,}8 \cdot 10^{-3}\)
\(8{,}6 \cdot 10^{3} \cdot 7{,}8 \cdot 10^{-3} = (8{,}6 \cdot 7{,}8) \cdot 10^{3 - 3} = 67{,}08 \cdot 10^{0} = 67{,}08\)
\(\dfrac{8{,}6 \cdot 10^{3}}{7{,}8 \cdot 10^{-3}} = \left(8{,}6 : 7{,}8\right) \cdot 10^{3 + 3} \approx 1{,}1 \cdot 10^{6}\)

1)

\(\dfrac{{3x}^{-9} \cdot 2x^{5}}{x^{-4}}\)

Воспользуемся свойствами степени с целым показателем

\(\dfrac{{3x}^{-9} \cdot 2x^{5}}{x^{-4}} = \dfrac{{6 \cdot x}^{-9 + 5}}{x^{-4}} = 6 \cdot x^{-9 + 5 + 4} = 6 \cdot x^{0} = 6\)

Ответ: 6

2) \((x^{-1} + y^{-1}) \cdot \left(\frac{1}{xy}\right)^{-2}\)

Преобразуем выражение в первых скобках, применив свойство степени, позволяющее избавиться от отрицательного показателя, а затем приведем результат к общему знаменателю

\(x^{-1} + y^{-1} = \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{y + x}{xy}\)

Таким образом, исходное выражение примет вид:

\(\dfrac{y + x}{xy} \cdot \left(\dfrac{1}{xy}\right)^{-2} = \dfrac{y + x}{xy} \cdot \dfrac{1}{\left(\dfrac{1}{xy}\right)^{2}} =\)
\(= \dfrac{y + x}{xy} \cdot \dfrac{1}{\dfrac{1}{\left(xy\right)^{2}}} = \dfrac{\left(y + x\right) \cdot \left(xy\right)^{2}}{xy} = \left(y + x\right) \cdot xy\)

Ответ: \(\left(y + x\right) \cdot xy\)

Воспользуемся свойствами степени с рациональным показателем и упростим данное выражение:

\(\dfrac{a^{\frac{5}{3}}}{\sqrt[3]{a^{2}} \cdot a^{\frac{1}{4}}} = \dfrac{a^{\frac{5}{3}}}{a^{\frac{2}{3}} \cdot a^{\frac{1}{4}}} = a^{\frac{5}{3} - \left(\frac{2}{3} + \frac{1}{4}\right)} =\)
\(= a^{\frac{5}{3} - \frac{2}{3} - \frac{1}{4}} = a^{1 - \frac{1}{4}} = a^{\frac{4}{4} - \frac{1}{4}} = a^{\frac{3}{4}} = \sqrt[4]{a^{3}}\)
\(\sqrt[4]{a^{3}} = \sqrt[4]{81^{3}} = \sqrt[4]{\left(3^{4}\right)^{3}} = \sqrt[4]{\left(3^{3}\right)^{4}} = 3^{3} = 27\)

Ответ: \(a^{\frac{3}{4}}\); 27

1)

\(\left(0{,}78\right)^{\frac{2}{3}}\text{ и }\left(0{,}67\right)^{\frac{2}{3}}\)
\(\begin{cases}0{,}78 > 0{,}67 \\ \frac{2}{3} > 0\end{cases} \Rightarrow \left(0{,}78\right)^{\frac{2}{3}} > \left(0{,}67\right)^{\frac{2}{3}}\)

2)

\(\left(3{,}09\right)^{-\frac{1}{3}}\text{ и }\left(3{,}08\right)^{-\frac{1}{3}}\)
\(\begin{cases}3{,}09 > 3{,}08 \\ -\frac{1}{3} < 0\end{cases} \Rightarrow \left(3{,}09\right)^{-\frac{1}{3}} < \left(3{,}08\right)^{-\frac{1}{3}}\)